Дана плотность распределения pξ(x) случайной величины ξ. Найти плотность распределения pηy, математическое ожидание Mη

Дана плотность распределения pξ(x) случайной величины ξ. Найти плотность распределения pηy, математическое ожидание Mη и дисперсию Dη случайной величины η, которая представляет собой площадь одной из указанных ниже геометрических фигур. pξx=2(x-a)(b-a)2,x∈a,b,0, x∉a,b. η - площадь равностороннего треугольника со стороной ξ. a=0, b=2.

Pξx=2(x-0)(2-0)2=x2,x∈0, 2,0, x∉0, 2.
Площадь равностороннего треугольника со стороной ξ:
η=34∙ξ2.
Найдем плотность распределения pηy:
pηy=pξψyψ'y,
где ψy - функция, обратная функции y=φx.
y=34∙x2⟹x=43∙y=2y43
ψ'y=243∙12y=143∙y
pηy=pξψyψ'y=2y432∙143∙y=13.
x=0⟹y=0;
x=2⟹y=3.
pηy=13,y∈0, 3,0, y∉0, 3.
Математическое ожидание Mη:
Mη=-∞+∞φ(x)pξxdx=0234∙x2∙x2∙dx=3802x3dx=38∙x4402=38∙244-044=32≈0,866.
Дисперсия Dη:
Dη=-∞+∞φx-Mη2pξxdx=0234∙x2-322∙x2∙dx=02332x5-38x3+38xdx=332∙x66-38∙x44+38∙x2202=332∙266-38∙244+38∙222-332∙066-38∙044+38∙022=14=0,25.
Ответ: pηy=13,y∈0, 3,0, y∉0, 3, Mη=32≈0,866; Dη=14=0,25.