Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой SA=2, AB=1. Точка M является серединой стороны

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, в которой SA=2, AB=1. Точка M является серединой стороны SB, а точка N - центром тяжести грани SAD. Используя векторы, найдите угол между прямыми AM и CN. Дано: SABCD - правильная четырёхугольная пирамида; SA=2; AB=1; BM=MS; AB=1; N – центр тяжести грани SAD. (AM)^(CN)=?

1) Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан, и делит их в отношении 2:3, следовательно:
SN=23SP.
2) Найдем высоту пирамиды:
AO=12AC=22;
SO=SA2-AO2=22-222=4-12=72=144=142.
3) Проведем координатные оси, как показано на рисунке, и найдем координаты векторов AM и CN:
AM=AB+BM=AB+12BS=AB+12BO+OS=-j+1212i+j+142k=14i-34j+144k;
CN=CS+SN=CS+23SP=CO+OS+23SO+OP=CO+OS-23OS+23OP=CO+13OS+23OP=
=12j-i+146k+13j=-12i+56j+146k.
Итак:
AM=14;-34;144;
CN=-12;56;146.
4) Угол между прямыми AM и CN:
AM=116+916+1416=2416=64=62;
CN=14+2536+1436=9+25+1436=4836=129=233;
AM∙CN=14∙-12-34∙56+144∙146=-18-1524+1424=-3-15+1424=-424=-16;
cosφ=AM∙CNAM∙CN=-1662∙233=-162=162=212;
(AM)^(CN)=φ=arccos212≈83,23°.
Ответ: 83,23°.