Дано: х = 1/(2t + 1); y = 4t +2; z = - t3 +2t2

Дано: х = 1/(2t + 1); y = 4t +2; z = - t3 +2t2 + t - 1; t1= 1 (x,y и z - в см, t и t1 - в с.) Определить: По заданным уравнениям движения точки М для момента времени t = t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории.

Находим координаты точки в момент времени t = t1 .
Подставляя значение t1= 1с в уравнения движения, находим:
х1 = 1/(2t1 + 1) = 1/(2·1 + 1) = 1/3 ≈ 0,33 см,
y1 = 4t1 +2 = 4·1 +2 = 6,0 см,
z1 = - t13 +2t12 + t1 - 1 = - 13 + 2·12 + 1 - 1 = 1,0 см.
На траектории, отмечаем положение точки М.
Рисунок 2.1. График траектории движения точки.
Примечание: График построен с помощью онлайн-построителя графиков:
http://grafikus.ru
2. Скорость точки определяем по ее проекциям на оси координат.
vx = dx/dt = x = d[1/(2t + 1)]/dt = - 2/(2t + 1)2,
vy = dy/dt = y = d(4t +2)/dt = 4,0 = const,
vz = dz/dt = z = d(- t3 +2t2 + t - 1)/dt = -3t2 + 4t +1.
Модуль скорости определяем по формуле: v = [(vx)2 + (vy)2 +(vz)2 ]1/2.
При t = t1 = 1с, находим:
v1х = - 2/(2t1 + 1)2 = - 2/(2·1+1)2 = - 2/9 ≈ - 0,22 см/с;
v1y = 4,00 см/с;
v1z = -3t12 + 4t1 +1 = -3·12 + 4·1 +1 = 2,00 см/с;
v1 = [(- 0,22)2 + 4,02 + 2,02]1/2 = 4,48 см/с

. Вектор скорости направлен по касательное к траектории движения.
3. Аналогичным образом находим проекции ускорений оси координат.
аx = х = dvx/dt = d[- 2/(2t + 1)2]/dt = 8/(2t + 1)3,
аy =y = dvy/dt = d(const)/dt = 0,
аz =z = dvz/dt = d(-3t2 + 4t +1) /dt = - 6t + 4,
Модуль ускорения определяем по формуле: а = [(аx)2 + (аy)2 +(аz)2 ]1/2.
При t = t1 = 1с, находим:
а1х = 8/(2t1 + 1)3 = 8/(2·1 + 1)3 = 8/27 ≈ 0, 30 см/с2,
а1y = 0,
а1z = - 6t1 + 4 = - 6·1 + 4 = - 2,0 см/с2,
а1 = [0,302 + (-2,0)2]1/2 = 2,02 см/с2.
4