Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и

Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

A=4663
Составим характеристическое уравнение
4-λ663-λ=0 λ²-7λ+6=0
D=25 λ1=6 λ2=1
Найдем базис
λ=1 3662=0 3x+6y=06x+2y=0 3x=-6y y=-36x=-32x
ux;-32x y=1 u1=1;-32 u1=32+1=52
e1=25;-35 e1=1
λ=6 -266-3=0
-2x+6y=06x-3y=0 -2x=-6y x=62y=32y
u62y;y y=1 u2=32;1 u2=32+1=52
e2=35;25 e2=1
e1∙e2=0- базис ортогональный .
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс

.
Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:
матрица перехода S=2535-3525
SST=2535-35252535-3525T=151523-322-332=1522+332(-3)+232(-3)+2322+-3(-3)=155005=1001
Матрица квадратичной формы в новом базисе.
B=STA S=25-35352546632535-3525=254-356256-353354+256356+253∙
∙2535-3525=
=254-35625+256-33535-254-35635+256-3525354+25625-356+25335354+25635+356+25325=1006.
Эллипс