Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и

Дано уравнение кривой второго порядка Используя теорию квадратичных форм: 1) найти новый базис и направления осей; 2) написать матрицу перехода и проверить, что она является ортогональной; 3) получить матрицу квадратичной формы в новом базисе; 4) изобразить кривую в первоначальной системе координат.

Матрица старших членов квадратичной формы имеет вид .
Составляем характеристическое уравнение матрицы , т.е
Полагая что , для определения соответствующего собственного вектора решаем систему уравнений:
, отсюда .
Проверка
пусть , тогда находим , первый собственный вектор .
Нормируем вектор: ,
Пусть , где k-коэффициент нормировки, тогда
Полагая что , для определения соответствующего вектора решаем систему уравнений
, отсюда ,
Проверка
пусть , тогда находим , второй собственный вектор . Нормируем вектор: , Пусть , где k-коэффициент нормировки, тогда
Проверим ортогональность векторов :
(Мы знаем, что скалярное произведения векторов , так как они ортогональны, поэтому перемножаем только одноименные векторы)
Пусть , тогда
, где матрица А – это матрица, связывающая новый базис со старым .
В матричном виде
Очевидно, обратный переход есть
, где матрица - матрица алгебраических дополнений

. Нормируем вектор: , Пусть , где k-коэффициент нормировки, тогда
Проверим ортогональность векторов :
(Мы знаем, что скалярное произведения векторов , так как они ортогональны, поэтому перемножаем только одноименные векторы)
Пусть , тогда
, где матрица А – это матрица, связывающая новый базис со старым .
В матричном виде
Очевидно, обратный переход есть
, где матрица - матрица алгебраических дополнений