Дано комплексное число a. Требуется: a) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; б)

Дано комплексное число a. Требуется: a) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; б) изобразить a на комплексной плоскости; в) вычислить a12; г) найти все корни уравнения z3-a=0; д) вычислить произведение полученных корней; е) составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнем которого, является a. a=-4i3-i

Для получения алгебраической формы комплексного числа, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
a=-4i3-i=-4i(3+i)3-i(3+i)=-4i(3+i)3-i2=-4i(3+i)4=-i3+i=1-i3
a=12+(-3)2=2
Число находится в четвертой четверти, поэтому:
φ=arga=-arctg31=-π3
Тригонометрическая форма:
a=a∙cosφ+isinφ=2∙cos-π3+isin-π3
Показательная форма:
a=a∙eiφ=2∙e-π3i
Графическое представление:
Для возведения комплексного числа в степень используем формулу:
an=an∙cosnφ+isinnφ
a12=2∙cos-π3+isin-π312=212∙cos(-4π)+isin(-4π)=212
Найдем корни уравнения:
z3-a=0 => z=3a
Для вычисления корня из комплексного числа, применим формулу:
na=na∙cosφ+2πkn+isinφ+2πkn, k=0,1…n-1
k=0
31-i3=32∙cos-π9+isin-π9=
k=1
31-i3=32∙cos5π9+isin5π9
k=2
31-i3=32∙cos11π9+isin11π9
Найдем произведение корней