Даны четыре точки А, В, С, D: А (4;2;3), В (–5;–4;2), С(5;7;–4), D(6;4;–7). Найти: 1)

Даны четыре точки А, В, С, D: А (4;2;3), В (–5;–4;2), С(5;7;–4), D(6;4;–7). Найти: 1) координаты векторов AB, AC, AD, их модули и направляющие косинусы; 2) скалярное произведение векторов AB и AD ; 3) проекцию вектора AC на вектор AB; 4) объем пирамиды АВСD и площадь АВС.

1)Координаты вектора вычисляются по формуле:
AB=x2-x1; y2-y1; z2-z1.
Из координат конца вектора вычитаются координаты его начала:
AB=-5-4; -4-2;2-3=-9; -6; -1;
AC=5-4;7-2; -4-3=1; 5; -7;
AD= 6-4;4-2; -7-3=2;2; -10 .
Модуль вектора вычисляется по формуле:
AB=x2+y2+z2 ,
AB=-92+-62+-12 =81+36+1=118;
AC=12+52+-72= 1+25+49=75=53;
AD=22+22+-102=4+4+100=108 =63.
Направляющие косинусы вектора вычислим по формулам:
cosα=xAB=xx2+y2+z2,; cosβ=yAB ; cosγ=zAB ;
для AB : cosα=-9118 ; cosβ=-6118 ; cosγ=-1118 ;
для AС : cosα=153 ; cosβ=553=13 ; cosγ=-753 ;
для AD : cosα=263=133 ; cosβ=263=133 ; cosγ=-1063=-533 .
2) Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
AB∙AD=x1x2+y1y2+z1z2 :
AB∙AD=-9∙2+-6∙2+-1∙-10=-18-12+10=-20 .
3) Проекция вектора на другой вектор вычисляется по формуле:
ПрABAC=AC∙ABAB=-9∙1+-6∙5+-1∙-7118=-9-30+7118=-32118 .
4) Объем пирамиды АВСD, построенной на векторах AB , AC , AD, , вычисляется с помощью смешанного произведения этих векторов по формуле:
V=16AB ∙ AC ∙ AD

.
3) Проекция вектора на другой вектор вычисляется по формуле:
ПрABAC=AC∙ABAB=-9∙1+-6∙5+-1∙-7118=-9-30+7118=-32118 .
4) Объем пирамиды АВСD, построенной на векторах AB , AC , AD, , вычисляется с помощью смешанного произведения этих векторов по формуле:
V=16AB ∙ AC ∙ AD