Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями μ1=19%, μ2=10%, μ3=13% и ковариационная матрица

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями μ1=19%, μ2=10%, μ3=13% и ковариационная матрица V=10-100-1020-200-2050 Найти уравнение минимальной границы, портфель с минимальным риском и его характеристики.

Вектор-столбец доходностей ценных бумаг μ=0,190,10,13
1. Обратная матрица к ковариационной (найдена в Excel функцией МОБР)
V-1=0,60,50,20,50,50,20,20,20,1
2. Определяем значения параметров , , ,
α=ITV-1I
α=1110,60,50,20,50,50,20,20,20,1111=1,31,20,5111=3
β=ITV-1μ
β=1110,60,50,20,50,50,20,20,20,10,190,10,13=1,31,20,50,190,10,13=0,432
γ=μTV-1μ
γ=0,190,10,130,60,50,20,50,50,20,20,20,10,190,10,13=0,190,1710,0710,190,10,13=
=0,06243
δ=αγ-β2
δ=3*0,06243-0,4322=0,00067
3 . Определяем уравнение минимальной границы в виде
σ2=Aμ2-2Bμ+C
где
A=αδ=30,00067=4504,5
B=βδ=0,4320,00067=648,65
C=γδ=0,062430,00067=93,74
Получаем уравнениеσ2=4504,5μ2-2∙648,65μ+93,74
4. Ожидаемая доходность и риск минимального портфеля.
Абсолютный минимум функции, задающей минимальную границу
σ=σμ=4504,5μ2-2∙648,65μ+93,74
достигается в точке βα;1α
то есть минимальный портфель имеет доходность
μ=βα=0,4323=0,144
и риск
σ=1α=13=0,577
5

. Определяем уравнение минимальной границы в виде
σ2=Aμ2-2Bμ+C
где
A=αδ=30,00067=4504,5
B=βδ=0,4320,00067=648,65
C=γδ=0,062430,00067=93,74
Получаем уравнениеσ2=4504,5μ2-2∙648,65μ+93,74
4. Ожидаемая доходность и риск минимального портфеля.
Абсолютный минимум функции, задающей минимальную границу
σ=σμ=4504,5μ2-2∙648,65μ+93,74
достигается в точке βα;1α
то есть минимальный портфель имеет доходность
μ=βα=0,4323=0,144
и риск
σ=1α=13=0,577
5