Даны три точки: A5,4, B7,11, C(15,10) Найти: 1) координаты векторов AB и AC; 2) проверить, лежат ли эти

Даны три точки: A5,4, B7,11, C(15,10) Найти: 1) координаты векторов AB и AC; 2) проверить, лежат ли эти точки на одной прямой; 3) угол между векторами AB и AC, если точки не лежат на одной прямой; 4) уравнения прямых AB и CB; 5) уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой CB.

1) Найдём координаты векторов, вычитая из координат конца вектора координаты начала, получим:
AB7-5;11-4=(2;7)
AC15-5;10-4=(10;6)
2) Проверим коллинеарность векторов AB и AC:
Так как координаты данных векторов не пропорциональны, то есть:
210≠76
Делаем вывод, что данные векторы не являются коллинеарными. Поэтому, заданные три точки не лежат на одной прямой.
3) Найдём угол между векторами:
cosγ=ABx*ACx+ABy*ACyAB*AC
Найдём длины векторов AB и AC:
AB=22+72=4+49=53
AC=102+62=100+36=136
Тогда:
cosγ=2*10+7*653*136=627208≈0,73
γ=arccos0,73≈43,09°
4) Найдём каноническое уравнение прямой AB, как прямой, проходящей через две точки A и B:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
x-57-5=y-411-4
x-52=y-47
Найдём также уравнение данной прямой с угловым коэффициентом:
2*y-4=7*(x-5)
2y-8=7x-35
2y=7x-27
y=72x-272
Аналогично, для прямой CB:
x-157-15=y-1011-10
x-15-8=y-101
-8*y-10=x-15
-8y+80=x-15
-8y=x-95
y=-18x+958
5) Угловой коэффициент прямой CB равен:
k1=-18
Тогда по условию перпендикулярности прямых:
k1*k2=-1
Найдём угловой коэффициент перпендикулярной прямой:
k2=-1k1=-1-18=8
Так как уравнение прямой, проходит через точку A, ищем в виде:
y-Ay=k*(x-Ax)
Тогда, используя координаты точки A и найденный угловой коэффициент, получим:
y-4=8*(x-5)
y-4=8x-40
y=8x-36