Из партии, содержащей 3000 изделий, было проверено 150 наудачу взятых изделий с целью определения

Из партии, содержащей 3000 изделий, было проверено 150 наудачу взятых изделий с целью определения влажности древесины, из которой они сделаны. Результаты проверки приведены в таблице: Влажность (%) 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21 Число изделий 8 41 52 37 12 Найти выборочные числовые характеристики.

Для нахождения выборочных характеристик рассмотрим следующее распределение выборки
xi
12 14 16 18 20
ni
8 41 52 37 12
Здесь в качестве значений xi взяты середины интервалов. При этом различных значений xi получилось k=5
Объем выборки
n=i=15ni=8+41+52+37+12=150
Для перехода к условным вариантам в качестве uo примем моду Mo=16, то есть возьмем uo=Mo=16. Заметим, что значения xi в статистическом распределении выборки образуют арифметическую прогрессию с разностью 2 . Поэтому полагаем h=2.
Вычислим условные варианты ui=xi-uoh и будем искать числовые характеристики, используя условные варианты ui.
Для удобства вычислений составим таблицу
xi
ni
ui=xi-uoh
niui
niui2
12 8 -2 -16 32
14 41 -1 -41 41
16 52 0 0 0
18 37 1 37 37
20 12 2 24 48
i=15niui=4
i=15niui2=158
Выборочное среднее
uв=1ni=15niui=4150≈0,0267
Выборочная дисперсия
DвU=u2в-uв2=1ni=15niui2-uв2=158150-41502=158150-1622500=2368422500=59215625≈1,0526
Тогда числовые характеристики исходной выборки будут следующими
Выборочное среднее
xв=uo+h∙uв=16+2∙0,0267≈16,05
Выборочная дисперсия
DвX=h2∙DвU=22∙1,0526≈4,21
Выборочное среднее квадратическое отклонение
σвX=DвX=4,21≈2,05
Исправленная выборочная дисперсия
s2=nn-1∙DвX=150149∙4,21≈4,24
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
s=s2=4,24≈2,06
Мода – варианта, которая имеет наибольшую частоту
Mo=16
Поскольку объем выборки n=150 – четное число, то медиана
Ml=xn2+xn2+12=x75+x762=16+162=16
Коэффициент вариации
V=σвXxв∙100%=2,0516,05∙100%≈12,77%

. Поэтому полагаем h=2.
Вычислим условные варианты ui=xi-uoh и будем искать числовые характеристики, используя условные варианты ui.
Для удобства вычислений составим таблицу
xi
ni
ui=xi-uoh
niui
niui2
12 8 -2 -16 32
14 41 -1 -41 41
16 52 0 0 0
18 37 1 37 37
20 12 2 24 48
i=15niui=4
i=15niui2=158
Выборочное среднее
uв=1ni=15niui=4150≈0,0267
Выборочная дисперсия
DвU=u2в-uв2=1ni=15niui2-uв2=158150-41502=158150-1622500=2368422500=59215625≈1,0526
Тогда числовые характеристики исходной выборки будут следующими
Выборочное среднее
xв=uo+h∙uв=16+2∙0,0267≈16,05
Выборочная дисперсия
DвX=h2∙DвU=22∙1,0526≈4,21
Выборочное среднее квадратическое отклонение
σвX=DвX=4,21≈2,05
Исправленная выборочная дисперсия
s2=nn-1∙DвX=150149∙4,21≈4,24
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
s=s2=4,24≈2,06
Мода – варианта, которая имеет наибольшую частоту
Mo=16
Поскольку объем выборки n=150 – четное число, то медиана
Ml=xn2+xn2+12=x75+x762=16+162=16
Коэффициент вариации
V=σвXxв∙100%=2,0516,05∙100%≈12,77%