На самостоятельную работу по МММНИ f(x,y)= x2 – xy + y2 + 9 x –

На самостоятельную работу по МММНИ f(x,y)= x2 – xy + y2 + 9 x – 6 y + 20 1. Найти экстремум функции f(x,y) и определить его тип. 2. Решить эту задачу градиентным методом: (x0; y0) = (-1; 0) 3. Решить эту задачу методом Ньютона-Канторовича (x0; y0) = (-1; 0)

Запишем необходимые условия экстремума
∂f∂x=2x-y+9=0
∂f∂y=-x+2y-6=0
Получаем систему из 2 линейных уравнений с двумя неизвестными.
2 x – y = -9,
-x + 2y = 6
Ее решение
x = -4, y = 1
дает координаты точки М, подозрительной на экстремум.
Проверим выполнение достаточных условий экстремума.
A=∂2f∂x2=2, B=∂2f∂x∂y=0, C=∂2f∂y2=2.
Имеем
A C – B2 = 4 > 0.
Достаточное условие экстремума выполняется, в точке М(-4,1) имеется
экстремум, так как А > 0, этот экстремум – минимум.
fmin = -1.
Зависимость вектора градиента от координат имеет вид
grad f(x,y) = (2x – y + 9, -x + 2y – 6).
Уравнение градиентного метода
(xn+1,yn+1) = (xn,yn) - δ grad f(xn,yn),
где δ – параметр.
Полагая δ = 0,5, выполним итерации градиентного метода