На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие данным краевым. 2

На указанном множестве найдите не равные тождественно нулю решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие данным краевым условиям y''+λy=0, π2≤x≤5π4,yπ2=y'5π4=0

Найдем собственные значения и собственные функции этой задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим три случая:
1) Случай λ<0
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид
μ2+λ=0, ⟹ μ1,2 =±-λ.
Общее решение дифференциального уравнения y''+λy=0 можно записать в виде
yx=c1sh-λx-π2+c2ch-λx-π2
Производная функции
y'x=c1-λch-λx-π2+c2-λsh-λx-π2
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
yπ2=c1sh 0+c2ch 0=c2=0 y'5π4=c1-λ ch3π-λ4 =0
Т.к . λ≠0, ch3π-λ4>0, то c1=0.
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
2) Случай λ=0
Общее решение дифференциального уравнения y''=0 имеет вид
yx=c1x+c2
Производная функции y'x=c1.
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
y'5π4=c1=0 yπ2=c1π2+c2=0 ⇒ с2=0
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
3) Случай λ>0
μ1,2 =±-λ=±iλ.
Общее решение дифференциального уравнения y''+λy=0 можно записать в виде
yx=c1sinλx-π2+c2cosλx-π2
Производная функции
y'x=c1λcosλx-π2-c2λsinλx-π2
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
yπ2=c1sin 0+c2cos 0=c2=0y'5π4=c1λcos3πλ4=0
Т.к

. λ≠0, ch3π-λ4>0, то c1=0.
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
2) Случай λ=0
Общее решение дифференциального уравнения y''=0 имеет вид
yx=c1x+c2
Производная функции y'x=c1.
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
y'5π4=c1=0 yπ2=c1π2+c2=0 ⇒ с2=0
Получили нулевое решение y(x)≡0 − не подходит.
3) Случай λ>0
μ1,2 =±-λ=±iλ.
Общее решение дифференциального уравнения y''+λy=0 можно записать в виде
yx=c1sinλx-π2+c2cosλx-π2
Производная функции
y'x=c1λcosλx-π2-c2λsinλx-π2
Константы c1 и c2 находим из граничных условий
yπ2=c1sin 0+c2cos 0=c2=0y'5π4=c1λcos3πλ4=0
Т.к