Найти корреляционную функцию Вs(t) треугольного импульса длительностью tи, с амплитудой U (рис. 3, а).

Найти корреляционную функцию Вs(t) треугольного импульса длительностью tи, с амплитудой U (рис. 3, а). Определить энергию импульса, выделяемую на сопротивлении 1 Ом. Построить график функции. Данные по длительности и величине импульса соответствуют данным задачи 1.

Автокорреляционная функция АКФ сигнала определяется по формуле
Bst=-∞∞s(t)∙s(t-τ)dt
Уравнение сигнала
s(t)=U(1-2tτи 0 t<-0,5τи)-0,5τи<t<0 t>0,5τи0,5τи
Рисунок 2- Взаимное расположение импульсов
Случай 1: 0≤τ≤τи2
Случай 2: τи2≤τ≤τи
Введем вспомогательные функции
s11t=U2tτи+1, s12t=U(1-2tτи)
s21t=2Uτиt+τи2-τ, s22t=2Uτи-t+τи2+τ
Bst=τ-τи20s11t∙s21tdt+0τs12t∙s21tdt+ττи2s12t∙s21tdt
Для cлучая 1
Для cлучая 2
Bst=τ-τи2τи2s12t∙s21tdt
Bsτ=0 τ>τиU23τи(6τ3τи3-6τ2τи2 +1) 0<τ<0,5τи2U23τи(1-τ3τи3+3τ2τи2 -3ττи) 0,5τи<τ<τи
В области τ<0 Bsτ=Bs-τ
Определим энергию импульса, выделяемую на сопротивлении 1 Ом
Eu=Bs0=U23τи=223∙1,2∙10-3=1,6∙10-3
τ ∙103
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Bsτ∙103
1,6 0,98 0,77 0,49 0,27 0,03 0,01 0 0
Рисунок 3- Корреляционная функция треугольного импульса