Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Oy – величина постоянная, равна

Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось Oy – величина постоянная, равна 7.

Пример 2.12.Найти уравнение линии, для которой проекция радиуса кривизны на осьравна 1.
Учитывая условие задачи: ПрOYR=7, запишем дифференциальное уравнение, соответствующее требуемым геометрическим свойствам линии или 7y''=1+y'2.
Дифференциальное уравнение 7y''=1+y'2 решаем способом понижения порядка, принимая y'=py . Тогда y''=p'p. Перепишем уравнение 7p'p=1+p2, или p1+p2dp=7dy.
p1+p2dp=7dy
1211+p2dp2+1=7dy
12ln1+p2=7y+C
ln1+p2=14y+2C
1+p2=e14y+2C
1+p2=e14y∙e2C
Интегрируя это уравнение и учитывая, что e2C – это постоянная, тогда получаем 1+p2=C1e14y.
Так как y'=p, из выражения 1+p2=C1e14y следует y'=±C1e14y-1

. Тогда y''=p'p. Перепишем уравнение 7p'p=1+p2, или p1+p2dp=7dy.
p1+p2dp=7dy
1211+p2dp2+1=7dy
12ln1+p2=7y+C
ln1+p2=14y+2C
1+p2=e14y+2C
1+p2=e14y∙e2C
Интегрируя это уравнение и учитывая, что e2C – это постоянная, тогда получаем 1+p2=C1e14y.
Так как y'=p, из выражения 1+p2=C1e14y следует y'=±C1e14y-1