Найти линию, проходящую через точку M0, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями

Найти линию, проходящую через точку M0, если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении а:b (считая от оси Oy) M02,-3, a:b=3:1 34759905810300

Изобразим условие задачи геометрически.
Точка касания находится между осями,
Тогда касательная делится Оу и Ох в точках
А и В.
Таким образом,
AM0M0B=31
Уравнение касательной в точке строится
по формуле:
y=fx0+f'x0x-x0
M02;-3, где x0=2, fx0=-3
Отметим координаты точек А и В:
yкас0=fx0+f'x00-x0
A0,fx0+f'x00-x0=A0,fx0-x0*f'x0
укас=0→fx0+f'x0x-x0=0→f'x0x-x0=-fx0
→x-x0=-fx0f'x0→x=x0-fx0f'x0
Bx0-fx0f'x0;0
обозначим зная координаты точек А, В, М0, найдём координаты векторов АМ0 и М0В
после чего найдём их длины:
AM0=x0-0;fx0-fx0+x0*f'(x0)=x0;x0*f'x0
M0B=x0-fx0f'x0-x0;0-f(x0)=-fx0f'x0;-f(x0)
AM0=x02+x02*f'x02=|x0|1+f'x02
M0B=f2x0f'2(x0)+f2(x0)=fx0f'(x0)f'2x0+1
т.к.AM0M0B=31→AM0M0B=31
тогда:
|x0|1+f'x02fx0f'(x0)f'2x0+1=31→x0fx0f'x0=31→x0*f'x0fx0=±3→f'x0fx0=±3x0
Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными