Найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора: y''+y'-2y=4e2t

Найти общее решение линейного ДУ второго порядка, используя метод подбора: y''+y'-2y=4e2t

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим сначала линейное однородное уравнение. Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+k-2=0
D=1+8=9
k1=-1-32=-2 k2=-1+32=1
Так как корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение уравнения запишем в виде:
y0=C1e-2t+C2et
Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид и так как показатель экспоненты правой части не совпадает с корнями характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде:
y=Ae2t => y'=2Ae2t y''=4Ae2t
Подставим данные значения в исходное уравнение:
4Ae2t+2Ae2t-2Ae2t=4e2t
4Ae2t=4e2t => A=1 y=e2t
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=C1e-2t+C2et+e2t