Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 06. y''+2y'+2y=ex∙sinx

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 06. y''+2y'+2y=ex∙sinx

Y=y1+y2
y1: y''+2y'+2y=0
k2+2k+2=0 – характеристическое уравнение
D=4-4∙1∙2=-4
k1,2=-2±2i2=-1±i
y1=e-x(C1cosx+C2sinx)
Частное решение будем искать в виде:
y2=ex(Acosx+Bsinx)
y2'=ex(Acosx+Bsinx)+ex(-Asinx+Bcosx)=
=ex(A+Bcosx+B-Asinx)
y2''=ex(A+Bcosx+B-Asinx+ex-A+Bsinx+B-Acosx=
=ex(2Bcos x-2Asin x)
Подставим y2, y2', y2'' в исходное уравнение
ex2Bcos x-2Asin x+2exA+Bcosx+B-Asinx+
+2ex(Acosx+Bsinx)=exsinx
4B-4Asinx+4A+4Bcosx=sinx
sinx| 4B-4A=1cosx| 4A+4B=0
A=-B – из 2-го уравнения
4B+4B=1
B=18, A=-18
y2=ex(-18cosx+18sinx)
Так как y=y1+y2, то получаем
y=e-x(C1cosx+C2sinx)+ex(-18cosx+18sinx)
Ответ: y=e-x(C1cosx+C2sinx)+ex(-18cosx+18sinx)