Найти общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка и определить вид частного решения

Найти общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка и определить вид частного решения линейного неоднородного уравнения. 5.15. а) y''+4y'+9y=sin5x б) y''+30y'+225y=x2e-15x в) y''+4y'-5y=2xe-5x

А) y''+4y'+9y=sin5x
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''+4y'+9y=0
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
k2+4k+9=0
k=-4±-202
k1,2=-2±i5
По виду корней (комплексные, сопряженные) получаем общее решение однородного уравнения:
y=e-2xc1cos5x+c2sin5x
Определим вид частного решения исходного уравнения:
y''+4y'+9y=sin5x
Поскольку правая часть не имеет общих корней с характеристическим уравнением, то частное решение имеет вид:
y=Acos5x+Bsin5x
б) y''+30y'+225y=x2e-15x
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''+30y'+225y=0
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
k2+30k+225=0
(k+15)2=0
k1,2=-15
По виду корней (вещественные, кратные) получаем общее решение однородного уравнения:
y=e-15xc1x+c2
Определим вид частного решения исходного уравнения:
y''+30y'+225y=x2e-15x
Поскольку правая часть имеет общий корень с характеристическим уравнением (причем кратным), то частное решение имеет вид:
y=x2Ax2+Bx+Ce-15x
в) y''+4y'-5y=2xe-5x
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
y''+4y'-5y=0
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
k2+4k-5=0
k=-4±362
k1=1,k2=-5
По виду корней (вещественные, различные) получаем общее решение однородного уравнения:
y=c1ex+c2e-5x
Определим вид частного решения исходного уравнения:
y''+4y'-5y=2xe-5x
Поскольку правая часть имеет общий корень с характеристическим уравнением k=-5, то частное решение имеет вид:
y=xAx+Be-5x