Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность σ двумя способами: 1) непосредственно, вычисляя потоки

Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность σ двумя способами: 1) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие куски поверхности σ; 2) по теореме Остроградского – Гаусса. a σ 3 x i + 2 y j + z2 k x2 + y2 + z2 = 4, y ≥ 0

Преобразуем функцию, которая задает поверхность к виду:
Φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 4 = 0.
Поток вектора через замкнутую поверxность состоит из двух
слагаемых - потока через полусферу и потока через круг радиуса R = 2.
K = Ks + Kс
Поток через полусферу:
Ks=an dS
где n - внешняя нормаль к поверхности . При неявном задании функции она равна:
n=1∂Ф∂x2+∂Ф∂y2+∂Ф∂z2∂Ф∂x,∂Ф∂y,∂Ф∂x.
∂Ф∂x=2x, ∂Ф∂y=2y, ∂Ф∂z=2z.
Тогда
n=1Rx,y,z,
an=1R3x2+2y2+z3.
Перейдем к сферическим координатам:
x = r sin θ cos φ,
y = r cos θ,
z = r sin θ sin φ.
Элемент поверхности
dS = r sin2 θ dθ dφ,
r = R = 2.
Ks=an dS=1R3r2sin2θ cos2φ+2r2cos2φ+r3sin3θ cos3φ×
×r2sinθ dθ dφ=1R0π2dθ02π3r2sin2θ cos2φ+2r2cos2φ+
+r3sin3θ cos3φr2sin θ dφ.
Вычислив интеграл с помощью программы Маткад, получим
Ks=80π3=83,776.
Поток через плоскую поверхность y = 0 будет равен
Kc=σ2axdy dz+ aydx dz+azdx dy=0.
Суммарный поток
K = Ks + Kc = 80 π3.
Вычислим поток с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.
K=Gdiv a dx dy dz=G∂ax∂x+∂ay∂y+∂az∂zdx dy dz=
=G5+2zdx dy dz.
Перейдем к сферическим координатам.
K=02dr0πdφ0π5+2 rcosθr2sinθdθ=80π3.
Результаты расчетов двумя методами совпадают.

. При неявном задании функции она равна:
n=1∂Ф∂x2+∂Ф∂y2+∂Ф∂z2∂Ф∂x,∂Ф∂y,∂Ф∂x.
∂Ф∂x=2x, ∂Ф∂y=2y, ∂Ф∂z=2z.
Тогда
n=1Rx,y,z,
an=1R3x2+2y2+z3.
Перейдем к сферическим координатам:
x = r sin θ cos φ,
y = r cos θ,
z = r sin θ sin φ.
Элемент поверхности
dS = r sin2 θ dθ dφ,
r = R = 2.
Ks=an dS=1R3r2sin2θ cos2φ+2r2cos2φ+r3sin3θ cos3φ×
×r2sinθ dθ dφ=1R0π2dθ02π3r2sin2θ cos2φ+2r2cos2φ+
+r3sin3θ cos3φr2sin θ dφ.
Вычислив интеграл с помощью программы Маткад, получим
Ks=80π3=83,776.
Поток через плоскую поверхность y = 0 будет равен
Kc=σ2axdy dz+ aydx dz+azdx dy=0.
Суммарный поток
K = Ks + Kc = 80 π3.
Вычислим поток с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.
K=Gdiv a dx dy dz=G∂ax∂x+∂ay∂y+∂az∂zdx dy dz=
=G5+2zdx dy dz.
Перейдем к сферическим координатам.
K=02dr0πdφ0π5+2 rcosθr2sinθdθ=80π3.
Результаты расчетов двумя методами совпадают.