Найти пределы, используя правило Лопиталя limx→0ax-bxx1-x2=00=limx→0ax-bx'x1-x2'=limx→0axlna-bxlnb1-x2-x2x1-x2= limx→0axlna-bxlnb1-3x21-x2=lna-lnb Для функции z=ex+y найти все частные производные второго порядка и

Найти пределы, используя правило Лопиталя limx→0ax-bxx1-x2=00=limx→0ax-bx'x1-x2'=limx→0axlna-bxlnb1-x2-x2x1-x2= limx→0axlna-bxlnb1-3x21-x2=lna-lnb Для функции z=ex+y найти все частные производные второго порядка и убедится , что zxy''=zyx''

При вычислении частной производной ∂z∂x аргумент y рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции, получаем
∂z∂x=ex+yx'=ex+yx+yx'=ex+y2x+y;
Аналогично поступаем при вычислении ∂z∂y, cчитая x постоянной величиной, получаем
∂z∂y=ex+yy'=ex+yx+yy'=ex+y2x+y
Находим вторые частные производные:
∂2z∂x2=ex+y2x+yx'=ex+y'2x+y-ex+y∙2x+y'4x+y
=ex+yx+y-1x+y32;
∂2z∂y2=ex+y2x+yy'=ex+y'2x+y-ex+y∙2x+y'4x+y
=ex+yx+y-1x+y32
;
Найдем смешанные частные производные:
∂2z∂x∂y=ex+y2x+yy'=ex+yx+y-1x+y32
;
∂2z∂y∂xex+y2x+yx'=ex+yx+y-1x+y32
Как видим
∂2z∂x∂y=∂2z∂y∂x.
Для функции z=5x2-2xy2+y2 найти производную и точке А(1;1) по направлению вектора a=2i-j и градиент в точке А
Градиент функции zx;yв произвольной точке вычисляется по формуле gradzM=∂z∂xAi+∂z∂xAj (1).
Найдем его.
∂z∂x=5x2-2xy2+y2x'=10x-2y2;
∂z∂y=5x2-2xy2+y2y'=-4xy+2y;
Найдем эти значения в точке (1;1):
∂z∂x1;1=10x-2x=1,y=1=8; ∂z∂y1;1=-4xy+2yx=1,y=1=-2
Отсюда получаем градиент в точке (1;1) по формуле (1)
gradzA=8i-2j=8;-2.
Направляющие косинусы вектора a=2i-j, a=42+-12=5 будут:
cosα=25, cosβ=-15.
Тогда
∂z∂a=8∙25-2∙-15=185.
Ответ: gradzA=8i-2j=8;-2; ∂z∂a=185.