Найти распределение температуры в шаре радиуса a, внутри которого начиная с момента t=0 происходит

Найти распределение температуры в шаре радиуса a, внутри которого начиная с момента t=0 происходит выделение тепла плотностью Qe-αt при условии, что начальное распределение температуры шара задано Tr,0=T0, а температура поверхности равна T0.

Поскольку постановка задачи радиально симметричная, то температура будет зависеть только от r и t, т.е. u=ur,t. Распределение температуры в шаре описывается уравнением теплопроводности, которое в сферических координатах примет вид
cρ∂u∂t=k1r2∂∂rr2∂u∂r+Qe-αt, 0≤r<a, t>0,
где c,ρ – теплоемкость и плотность материала шара, соответственно; k − коэффициент теплопроводности.
∂u∂t=χ21r2∂∂rr2∂u∂r+Qe-αtcρ, 0≤r<a, t>0.
(1)
где χ2=kcρ.
Начальное условие
ut=0=T0, 0≤r<a.
(2)
Граничное условие
ur=a=T1.
(3)
По физическому смыслу задачи ищем ограниченное в шаре решение
ur,t<∞, 0≤r<a.
(4)
Сначала сведем задачу к задаче с однородным граничным условием (3). Для этого искомую функцию представим в виде
ur,t=wr,t+T1.
Для функции wr,t постановка задачи примет вид
∂w∂t=χ21r2∂∂rr2∂w∂r+Qe-αtcρ, 0≤r<a, t>0.
(1')
wt=0=T0-T1, 0≤r<a.
(2')
ur=a=0.
(3')
wr,t<∞, 0≤r<a.
(4')
Сделаем замену
wr,t=vr,tr.
(5)
∂w∂t=1r∂v∂t, ∂u∂r=1r∂v∂r-vr2,
подставляем в уравнение (1)
1r∂v∂t=χ21r2∂∂rr21r∂v∂r-vr2+Qe-αtcρ
1r∂v∂t=χ21r2∂∂rr∂v∂r-v+Qe-αtcρ
1r∂v∂t=χ21r2∂v∂r+r∂2v∂r2-∂v∂r+Qe-αtcρ
Следовательно, для функции vr,t получим следующее одномерное уравнение теплопроводности
∂v∂t=χ2∂2v∂r2+Qre-αtcρ, 0≤ r<a, t>0,
(6)
и граничными условиями (с учетом условия ограниченности (4'))
vr=0=rwr=0=0, vr=a= rwr=a=0,
vr=0=0, vr=a=0,
(7)
и начальным условием
vt=0=rwt=0=T0-T1r.
(8)
Найдем собственные функции задачи с однородным уравнением теплопроводности
∂v∂t=χ2∂2v∂r2,
(6')
Применим метод Фурье разделения переменных

. Будем искать нетривиальное частное решение задачи в виде произведения
vr,t=Rr∙Tt.
Далее подставим предполагаемую форму решения в уравнение (6')
Rr∙T't=χ2R''r∙T(t)
Разделим равенство на χ2Rr∙T(t)
T'(t)χ2T(t)=R''rRr=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от r.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
R''(r)+λRr=0.
T't+χ2λTt=0.
Подставляя vr,t в виде Rr∙Tt в граничные условия (7), получим
R0⋅Tt=0, Ra⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
R0=0, Ra=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
R''r+λRr=0R0=0, R0=0
Общее решение имеет вид
Rr=C1cosλr+C2 sinλr.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
R0=C1=0 Ra=C2 sinλa=0
Т.к