Найти все особые точки функции fz=e1z1-z2, определить их характер и найти вычеты в них.

Найти все особые точки функции fz=e1z1-z2, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно удаленная точка и найти вычет в ней:

Определим вначале характер бесконечно удаленной точки.
Т.к. существует конечный предел: limz→∞e1z1-z2=0, то бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой, а значит вычет в ней равен нулю.
Запишем функцию в виде:
fz=e1z1-z2=e1z1-z1+z
Особыми точками являются точки z=±1 и z=0 (функция в этих точках не определена).
Точки z=±1 является простым полюсом функции, т.к . функцию можно представитьв виде fz=φ(z)z∓1, где φzz=±1≠0.
Тогда вычеты в точках:
z=1resfz=limz→1fz∙z-1=limz→1-e1z1+z=-e2
z=-1resfz=limz→-1fz∙z+1=limz→-1e1z1-z=12e
Рассмотрим точку z=0

. функцию можно представитьв виде fz=φ(z)z∓1, где φzz=±1≠0.
Тогда вычеты в точках:
z=1resfz=limz→1fz∙z-1=limz→1-e1z1+z=-e2
z=-1resfz=limz→-1fz∙z+1=limz→-1e1z1-z=12e
Рассмотрим точку z=0