Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y=y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным

Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y=y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) y''+λy=0, 1/2≤x≤1,y1/2=0, y'1=0.

Рассмотрим три случая:
1) Случай λ<0
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид
μ2+λ=0, ⟹ μ1,2 =±-λ.
Общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде
yx=C1sh-λx-12+C2ch-λx-12
Производная функции
y'x=C1-λch-λx-12+C2-λsh-λx-12
Константы C1 и C2 находим из граничных условий
y1/2=C1sh0+ C2ch0=C2=0 y'1=C1-λch-λ2=0
Т.к. λ≠0, ch-λ2>0, то C1=0.
Получили нулевое решение y(x)≡0 – не подходит.
2) Случай λ=0
Общее решение дифференциального уравнения y''=0 имеет вид
yx=C1x+C2.
Производная функции y'x=C1.
Константы C1 и C2 находим из граничных условий
y12=12C1+ C2=0y'1=C1=0 ⟹ C2=0
Получили нулевое решение y(x)≡0 – не подходит.
3) Случай λ>0
μ1,2 =±-λ=±iλ.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
yx=C1sinλx-12+C2cosλx-12
Производная функции
y'x=C1λcosλx-12-C2λsinλx-12
Константы C1 и C2 находим из граничных условий
y1/2=C1sin0+ C2cos0=C2=0,y'1=C1λcosλ2=0