Плотность совместного распределения с.в. X и Y задана формулой fx,y=a1-xy3, при x≤1,y≤1,0, в остальных случаях. Найти

Плотность совместного распределения с.в. X и Y задана формулой fx,y=a1-xy3, при x≤1,y≤1,0, в остальных случаях. Найти постоянную a и коэффициент корреляции

Согласно свойствам плотности распределения двумерной с.в.:-∞+∞-∞+∞fx,ydxdy=1, тогда
-∞+∞-∞+∞fx,ydxdy=a-11dx-111-xy3dy=a-11dx∙y-xy44|-11=a-11dx∙1-x4--1+x4=a-112dx=a∙2x|-11=4a=1→a=1/4.
2) Найдем fXx и fYy по формулам: fXx=-∞∞f(x,y)dy, fYy=-∞∞f(x,y)dx
fXx=-∞∞f(x,y)dy=-11141-xy3dy=14y-xy44|-11=14∙1-x4--1+x4=12,
fXx=12, при x≤1 ,0, при x>1.
fYy=-∞∞f(x,y)dx=-11141-xy3dx=14x-x2y32|-11=14∙1-y32--1+y32=12,
fYy=12, при y≤1 ,0, при y>1.
Одномерные плотности Х и Y распределены равномерно на отрезках [-1;1], поэтому для нахождения мат.ожиданий и дисперсий воспользуемся формулами справедливыми для равномерного распределения:
MX=a+b2=-1+12=0, MY=a+b2=-1+12=0,
DX=b-a212=1-(-1)212=13, DY=b-a212=1--1212=13.
Вычислим M(XY):
MXY=-∞+∞-∞+∞xy∙fx,ydxdy=14-11xdx-11y1-xy3dy=14-11xdx-11y-xy4dy==14-11xdx∙y22-xy55-11=14-11xdx∙12-x5-12-x5=-25∙14-11x2dx=-110∙x33-11=-11013--13=-110∙23=-115.
Вычислим коэффициент корреляции ρ(X,Y) :
ρX,Y=MXY-M(X)∙M(Y)D(X)∙D(Y)=-1/15-0∙01/3∙1/3=-1/151/3=-15=-0,2.