Плотность распределения случайной величины X имеет вид: fx=0, x≤1a∙x-15, 1<x≤60, x>6 Найти: а) параметр a б) функцию распределения

Плотность распределения случайной величины X имеет вид: fx=0, x≤1a∙x-15, 1<x≤60, x>6 Найти: а) параметр a б) функцию распределения Fx в) вероятность попадания случайной величины в интервал (3,5;7) г) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X)

Для определения параметра a воспользуемся условием:
-∞∞f(x)dx=1
-∞∞fxdx=a516x-1dx=a5x22-x61=a5∙18-6-12+1=a5∙252=5a2
5a2=1 => a=25
fx=0, x≤12(x-1)25, 1<x≤60, x>6
Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой:
Fx=-∞xftdt
x≤1: Fx=-∞x0dt=0
1<x≤6:
Fx=-∞10dt+1x2t-125dt=125t2-225tx1=125x2-225x-125+225=
=125x2-225x+125
x>6
Fx=-∞10dt+162t-125dt+6x0dt=125t2-225t61=
=3625-1225-125+225=1
Fx=0, x≤1125x2-225x+125, 1<x≤6 1, x>6
Вероятность попадания случайной величины X в интервал (α;β) найдем по формуле:
Pα≤X≤β=Fβ-Fα
P3,5≤X≤7=F7-F3,5=1-125∙3,52+225∙3,5-125=0,75
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞x∙fxdx=162xx-125dx=22516x2-xdx=225∙x33-x2261=
=225∙2163-18-13+12=133
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2∙fxdx-M2X=162x2x-125dx-1699=22516x3-x2dx-1699=
=225∙x44-x3361-1699=225∙324-2163-14+13-1699=2518
Ответ:
a=25; P3,5≤X≤7=0,75; MX=133; DX=2518