Плотность распределения случайной величины X на промежутке -2;0 имеет вид fx=A⋅x-1 для x∉-2;0 fx=

Плотность распределения случайной величины X на промежутке -2;0 имеет вид fx=A⋅x-1 для x∉-2;0 fx= 0. Требуется: а) найти значение A; б) указать плотность распределения, функцию распределения Fx и построить их графики; в) вычислить математическое ожидание mx, дисперсию Dx, моду, медиану, среднеквадратическое отклонение σx; г) найти вероятность Px-mx<σx.

А) Из условия нормировки:
-∞+∞fxdx=-∞-20dx+-20A⋅x-1 dx+0+∞0 dx=1⇒Ax22-Ax0-2=
=A∙022-A∙0-A∙-222-A∙-2=-2A+2A=1⇒A=-14.
2) Функция плотности распределения:
fx=-14⋅x-1 при x∈-2;0 0, при x∉-2;0.
Найдем функцию распределения:
Fx∈-2;0=-∞-20dx+-2xftdt=-14-2xt-1dt=-14t22-tx-2=
=-14x22-x+14-222+2=-18x2-2x+1.
Fx=-18x2-2x+1, при x∈-2;00 при x∉-2;0 .
Построим графики:
в) математическое ожидание mx для непрерывной случайной величины найдем по формуле:
mx=-∞+∞xfxdx=-14⋅-20xx-1dx=14x33-x220-2=
=-14-233--222=-14∙143=-76.
Дисперсия Dx для непрерывной случайной величины найдем по формуле:
Dx=-∞+∞x2fxdx-mx2=-14⋅-20x2x-1dx-762=14x44-x330-2-4936
=14-244--233--4936=11144.
Тогда среднеквадратическое отклонение σx=Dx≈0,276.
Модой непрерывной случайной величины по определению, называется точка локального максимума плотности распределения:
fMo=maxfx=f0=-14⋅0-1=-14.
Для нахождения медианы обозначим Me=m.
Px<Me=12⇒-∞mfxdx=12⇒-14⋅-2mx-1dx=-14x22-xm-2=
=-14m22-m+1=12⇒m22-m=2⇒m2-2m=4.
m2-2m-4=0-D=4+16=20;m=2±202=1±5; m1≈-1,24;
m2≈3,26x∉-2;0.
г) найти вероятность Px-mx<σx.
Px-mx<σx=Px+76<0,276.=P-1,44≤x≤0,09==F0,09-F-1,44=-180,092-0,18+1+181,442+2,88-1=
=0,0215+0,6192=0,5977.
Ответ