Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n

Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n (Решение → 45615)

Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n число tr(CX). Показать, что этим определена линейная функция на пространстве Rn×n, и найти её координатную строку (координатную матрицу).



Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n (Решение → 45615)

Пусть C=(cij) и Х=(хij) тогда
X↦trCX=i=1nj=1ncijxji.
Тогда,
αX+βY↦trCαX+βY=i=1nj=1ncijαxji+βyji=i=1nj=1ncijαxji+i=1nj=1ncijβyji=
=i=1nj=1nαcijxji+i=1nj=1nβcijyji=αi=1nj=1ncijxji+βi=1nj=1ncijyji=αtrCX+βtrCY,
что означает линейность рассматриваемой функции.
Координатную строку образуют результаты применения функции к элементам базиса . Базисом в пространстве квадратных матриц порядка n являются матрицы Eij у которых на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит 1, а на остальных местах — 0

. Базисом в пространстве квадратных матриц порядка n являются матрицы Eij у которых на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит 1, а на остальных местах — 0

Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n (Решение → 45615)

Пусть C — квадратная матрица порядка n. Сопоставим каждой квадратной матрице Х порядка n (Решение → 45615)