Пусть I и J множество матриц вида 0gh00002k0, 0l2m00002n0 соответственно, где g, k, h,

Пусть I и J множество матриц вида 0gh00002k0, 0l2m00002n0 соответственно, где g, k, h, m, n ∈Z. Доказать, что I является идеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z, J есть идеал кольца I, но не является идеалом кольца R.

Для доказательства используем определение: подкольцо I будет идеалом кольца R, если:
1) для любого элемента A из множества I и любого элемента B из множества R произведение AB∈I
2) для любого элемента A из множества I и любого элемента B из множества R произведение BA∈I
1. Докажем, что I является идеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z
Пусть элементы кольца R верхних треугольных матриц над Z имеют вид:
B=abc00d0ef, где a, b, c, d, e, f – целые числа.
И пусть элементы множества I имеют вид
A=0gh00002k0, где g, h – целые числа, 2k – целое четное число.
Проверим выполнение первого условия

. Умножим матрицу A на матрицу B:
AB=0gh00002k0abc00d0ef=0gdge+hf00002kf0
Получили матрицу, где gd, ge+hf – целые числа, 2kf – целое четное число, т.е. AB∈I
Проверим выполнение второго условия. Умножим матрицу B на матрицу A:
BA=abc00d0ef0gh00002k0=0agah+2bk00002kd0
Получили матрицу, где ag, ah+2bk – целые числа, 2kd – целое четное число, т.е. BA∈I
2. Докажем, что J есть идеал кольца I. (также используем определение идеала)
Пусть элементы множества J имеют вид:
C=0l2m00002n0, где l – целое число, 2m, 2n, – целые четные числа.
И пусть элементы множества I имеют вид
A=0gh00002k0, где g, h – целые числа, 2k – целое четное число.
Проверим выполнение первого условия