Пусть k — натуральное число kn, t0 — вещественное число. Сопоставим каждому многочлену р(t)

Пусть k — натуральное число kn, t0 — вещественное число. Сопоставим каждому многочлену р(t) степени не выше n значение его k-й производной при t=t0. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов Рn. Вычислить её координатную строку в базисах: a) 1, t, …, tn; б) 1, t–t0, …, (t–t0)n.

А)
dk1dtkt0=0,
dktdtkt0=1 при k=1, =0 если k>1,
dkt2dt2kt0=2t0 при k=1, =2 при k=2, =0 если k>2,
…,
dktmdtmkt0=1⋅2⋅⋯ ⋅m-k⋅t0m-k-1 при k<m, =0 при k≥m.
Итак, координатная строка имеет вид χ0, …, χi, …, χn, где χi=1⋅2⋅⋯ ⋅m-k⋅t0m-k-1 при k<i и где χi=0 при k≥i.
б)
dk1dtkt0=0,
dkt-t0dtkt0=1 при k=1=1!, =0 если k≥2,
dkt-t02dt2kt0=2t0-t0=0 при k=1, =2=2! при k=2, =0 если k>2,
…,
dkt-t0mdtmkt0=1⋅2⋅⋯ ⋅k=k! при k=m, =0 при k≠m.
Итак, координатная строка имеет вид 0, …, k!, …,0, где k! стоит на k+1-м месте (места считаются начиная с 0).