Пусть X=(X1,X2,…,Xn) выборка из распределения с плотностью распределения случайной величины Xj fx=0,x<θe-x-θ,x≥θ Найти оценку неизвестного параметра

Пусть X=(X1,X2,…,Xn) выборка из распределения с плотностью распределения случайной величины Xj fx=0,x<θe-x-θ,x≥θ Найти оценку неизвестного параметра θ методом моментов и методом максимального правдоподобия. Являются ли эти оценки несмещенными, состоятельными?

Преобразуем функцию:
fx=0,x-θ<0e-x-θ,x-θ≥0
получаем функцию показательного распределения с параметром λ=1
Тогда Mx=1λ=1.
Найдем математическое ожидание по определению:
Mx=-∞∞fxdx=θ∞e-x-θdx=-θ∞e-x-θd-x-θ=-e-x-θθ∞=-e-∞-θ-e-θ-θ=-0-1=1
Таким образом, параметр θ может быть любым действительным числом .
Найти оценку неизвестного параметра θ методом максимального правдоподобия.
Составим функцию правдоподобия:
L=i=1nf(xi)=e-xi-θ
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
lnL=-i=1nxi-θ
Найдем первую производную по θ:
∂lnL∂θ=-i=1nxi-θ∂∂θ=-i=1n0-1∂∂θ=n
Таким образом, параметр θ может принимать любое значение, следовательно, является константой и является несмещенной и состоятельной оценкой, т.к.:
Mθ=θ, Dθ=0.

.
Найти оценку неизвестного параметра θ методом максимального правдоподобия.
Составим функцию правдоподобия:
L=i=1nf(xi)=e-xi-θ
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
lnL=-i=1nxi-θ
Найдем первую производную по θ:
∂lnL∂θ=-i=1nxi-θ∂∂θ=-i=1n0-1∂∂θ=n
Таким образом, параметр θ может принимать любое значение, следовательно, является константой и является несмещенной и состоятельной оценкой, т.к.:
Mθ=θ, Dθ=0.