Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы при растяжении-сжатии Для системы (рис.3), состоящей из

Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы при растяжении-сжатии Для системы (рис.3), состоящей из абсолютно жесткого горизонтального бруса ОА и двух упругих стержней 1 и 2, требуется определить: 1) усилия в стержнях (N1;N2) от действия силы P; 2) площади поперечных сечений стержней 1 и 2 из условия прочности; 3) вертикальное перемещение точки А; 4) напряжения в стержнях 1 и 2 при повышении температуры на t градусов.

Разрежем стержни , обозначим усилия в них через N1 и N2 и рассмотрим равновесие системы
Составим силовую схему:
N1∙sinα∙c+N2∙sinβ∙(a+b)-P∙(b+c+d)=0 (1)
sinα=aa2+c2=1,21,22+0,32=0,97;
sinβ= a(a+b)2+a2=1,21,72+1,22=0,545
N1∙0,291+N2∙0,926=147 (2)
Для вычисления усилий в стержнях N1 и N2 необходимо иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций . Это уравнение получаем из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции.
Δ1уΔ2у=cc+b=317 (3)
Δ1у=Δ1sinα; Δ2у=Δ2sinβ;
- перемещение первого стержня
- перемещение второго стержня
Δ1=N1∙L1E∙A1; Δ2=N2∙L2E∙A2
E=2∙105 МПа-модуль упругости материала стержней
L1- длина первого стержня
L2- длина второго стержня
A1,A2- площади поперечного сечения стержней
Подставим полученные выражения в (3)
N1∙L1E∙A1∙sinαN2∙L2E∙A2∙sinβ=317; N1∙L1∙sinβN2∙L2∙sinα=317;
L1=a2+c2=1,237 м
L2=(a+b)2+a2=2,2 м
N1∙1,237 ∙0,545N2∙2,2∙0,97=317;
N1=0,559∙N2
0,559∙N2∙0,291+N2∙0,926=147
N2=135 кН
N1=0,559∙N2=75,5 кН
Условие прочности σmax≤[σ]
σ-величина допускаемых напряжений для материала стержней
σmax= NmaxA, тогда
A= Nmax[σ]=135000140∙106=9,64∙10-4м2
A1=A2=A=9,64∙10-4м2
Вертикальное перемещение точки А равно
ΔА=135000∙1,2372∙1011∙9,64∙10-4∙0,297=0,0029м=2,9 мм
При нагревании на ∆T=20C деформация стержней будет равна
ε1=ε2=α∙∆T=1∙10-5∙20=2∙10-4
Напряжения в стержнях 1 и 2 при повышении температуры будут равны
σ1=σ2=Eε1=2∙1011∙2∙10-4=4∙107Па=40 МПа

. Это уравнение получаем из геометрических соотношений между деформациями элементов заданной конструкции.
Δ1уΔ2у=cc+b=317 (3)
Δ1у=Δ1sinα; Δ2у=Δ2sinβ;
- перемещение первого стержня
- перемещение второго стержня
Δ1=N1∙L1E∙A1; Δ2=N2∙L2E∙A2
E=2∙105 МПа-модуль упругости материала стержней
L1- длина первого стержня
L2- длина второго стержня
A1,A2- площади поперечного сечения стержней
Подставим полученные выражения в (3)
N1∙L1E∙A1∙sinαN2∙L2E∙A2∙sinβ=317; N1∙L1∙sinβN2∙L2∙sinα=317;
L1=a2+c2=1,237 м
L2=(a+b)2+a2=2,2 м
N1∙1,237 ∙0,545N2∙2,2∙0,97=317;
N1=0,559∙N2
0,559∙N2∙0,291+N2∙0,926=147
N2=135 кН
N1=0,559∙N2=75,5 кН
Условие прочности σmax≤[σ]
σ-величина допускаемых напряжений для материала стержней
σmax= NmaxA, тогда
A= Nmax[σ]=135000140∙106=9,64∙10-4м2
A1=A2=A=9,64∙10-4м2
Вертикальное перемещение точки А равно
ΔА=135000∙1,2372∙1011∙9,64∙10-4∙0,297=0,0029м=2,9 мм
При нагревании на ∆T=20C деформация стержней будет равна
ε1=ε2=α∙∆T=1∙10-5∙20=2∙10-4
Напряжения в стержнях 1 и 2 при повышении температуры будут равны
σ1=σ2=Eε1=2∙1011∙2∙10-4=4∙107Па=40 МПа