Расчет напряженности и потенциала электрического поля тонкого равномерно заряженного с линейной плотностью отрезка прямой

Расчет напряженности и потенциала электрического поля тонкого равномерно заряженного с линейной плотностью отрезка прямой длиной l в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном к середине отрезка, на расстоянии r от него.

1) Расчет напряженности
88458040182800625Заряд распределен вдоль отрезка, поэтому для того, чтобы воспользоваться формулой напряженности, создаваемой точечным зарядом, выделим на отрезке l бесконечно малый участок dl, который несет бесконечно малый заряд dq. Такой заряд можно считать точечным, поэтому формула напряженности, создаваемой им в точке A, имеет вид:
dE=140dqR3R.
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - электрическая постоянная, R – расстояние от заряда dq до точки A.
Разложим dE на составляющие:
dE=dEx+dEy.
Их проекции на оси координат:
dEx=-140dqR2sin;
dEy=140dqR2cos;
введем линейную плотность заряда по формуле:
=dqdl.
Выразим dq:
dq=dl.
Здесь
dl=BD=BCcos=Rdcos;
dq=Rdcos.
Кроме того, рассматривая треугольник ABO, видим:
R=rcos.
Подставив dq и R в формулы для составляющих напряженности, получим
dEx=-140drsin;
dEy=140drcos;
Интегрируя эти выражения в пределах от -1 до 1 найдем составляющие полной напряженности

. Угол 1 – это угол, под которым из точки A виден конец отрезка l.
Очевидно, что в силу симметрии задачи, горизонтальная составляющая полной напряженности равна нулю. Покажем это непосредственным интегрированием:
Ex=--1140sindr=-40r-11sind=40rcos1-cos-1=40rcos1-cos1=0.
Вертикальная составляющая полной напряженности
Ey=-1140cosdr=2r001cosd=40rsin1-sin-1==40rsin1+sin1=2r0sin1;
Итак
E=Ey=2r0sin1.
Найдем sin1, учитывая, что 1 – угол в прямоугольном треугольнике:
sin1=l2r2+l22.
E=Ey=2r0l2r2+l22=r0l4r2+l2.
2) Потенциал
Заряд распределен вдоль отрезка, поэтому для того, чтобы воспользоваться известной формулой потенциала, создаваемого точечным зарядом, выделим на отрезке бесконечно малый участок dl, который несет бесконечно малый заряд dq