Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме. 3

Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. 3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Допустимая погрешность выполнения баланса мощностей 2%. 5. Определить показания измерительных приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра.

В соответствии с вариантом исходная схема показана на рис 1.2.
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения: Z1=-j40 Ом, Z2=j30 Ом, Z3=j40 Ом, Z4=50 Ом, Z5=60 Ом
Комплекс действующего значения ЭДС:
E=Em2ejψ=179ej80°2=126,572ej80°=21,979+j124,649 В
Рис. 1.2
1. Расчет цепи по законам Кирхгофа.
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по первому и три по второму законам Кирхгофа:
I1-I2-I3=0,I3-I4-I5=0,I1Z1+I2Z2=E,-I2Z2+I3Z3+I4Z4=0,-I4Z4+I5Z5=0.
Подставляя данные, запишем систему уравнений в матричной форме A×I=F:
1-1-100001-1-1-j40j300000-j30j40500000-5060×I1I2I3I4I5=0021,979+j124,64900,
где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор-столбец токов ветвей цепи, F – вектор-столбец входных воздействий.
Составленное матричное уравнение решаем с помощью прикладной программы MathCAD и получаем следующие значения токов в комплексной форме:
I1=-5,447+j2,158=5,858ej158,387° А
I2=-3,107+j2,145=3,775ej145,386° А
I3=-2,339+j0,013=2,339ej179,673° А
I4=-1,276+j0,007=1,276ej179,673° А
I5=-1,063+j0,006=1,063ej179,673° А
Напряжения на элементах определяем по закону Ома в комплексной форме:
U1=I1Z1=-5,447+j2,158∙-j40=86,316+j217,863=234,339ej68,387° В;
U2=I2Z2=-3,107+j2,145∙j30=-64,337-j93,214=113,261e-j124,614° В;
U3=I3Z3=-2,339+j0,013∙j40=-0,533-j93,578=93,579e-j90,327° В;
U4=U5=I4Z4=-1,276+j0,007∙50=-63,803+j0,364=63,804ej179,673° В

.
2. Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований.
С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентные сопротивления участков цепи и входное сопротивление цепи.
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=50∙6050+60=27,273 Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3а.
Z345=Z3+Z45=j40+27,273=48,413ej55,713° Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3б.
Z2345=Z2∙Z345Z2+Z345=30ej90°∙48,413ej55,713°j30+j40+27,273=1452,385ej145,713°27,273+j70=1452,385ej145,713°75,125ej68,714°=19,333ej77°=4,349+j18,837 Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3в.
Zвх=Z12345=Z1+Z2345=-j40+4,349+j18,837=4,349-j21,163=21,605e-j78,387° Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3г.
а)б)
в)г)
Рис. 1.3.
По закону Ома:
I1=EZвх=126,572ej80°21,605e-j78,387° =5,858ej158,387°=-5,447+j2,158 А.
Тогда:
U1=I1Z1=-5,447+j2,158∙-j40=86,316+j217,863=234,339ej68,387° В;
Дальнейший расчет проводится по закону Ома:
U2=I1Z2345=5,858ej158,387°∙19,333ej77°=113,261e-j124,614°=-64,337-j93,214 В;
I2=U2Z2=113,261e-j124,614°30ej90°=3,775ej145,386°=-3,107+j2,145 А;
I3=U2Z345=113,261e-j124,614°48,413ej55,713°=2,339ej179,673°=-2,339+j0,013 А.
Проверка. I1-I2-I3=-5,447+j2,158--3,107+j2,145--2,339+j0,013=0 – первый закон Кирхгофа для 1 узла выполняется.
U3=I3Z3=-2,339+j0,013∙j40=-0,533-j93,578=93,579e-j90,327° В;
U4=U5=I3Z45=-2,339+j0,013∙27,273=-63,803+j0,364=63,804ej179,673° В.
I4=U4Z4=63,804ej179,673°50=1,276ej179,673°=-1,276+j0,007 А;
I5=U5Z5=63,804ej179,673°60=1,063ej179,673°=-1,063+j0,006 А;
Проверка