Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме

Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. 3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Допустимая погрешность выполнения баланса мощностей 2%. 5. Определить показания измерительных приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра. 6. Методом эквивалентного генератора определить ток в одной из ветвей схемы (номер ветви задается преподавателем).

Исходная схема, соответствующая указанному варианту, приведена рис 1.2.
Рис. 1.2
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения:
Z1=j40 Ом, Z2=j30 Ом, Z3=40 Ом, Z4=50 Ом, Z5=-j60 Ом
Комплекс действующего значения ЭДС:
E=Em2ejψ=179ej120°2=126,572ej120°=-63,286+j109,615 В
1. Расчет цепи по законам Кирхгофа.
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по первому и три по второму законам Кирхгофа:
-I1-I2+I3=0-I3-I4+I5=0I1Z1-I2Z2=0I2Z2+I3Z3-I4Z4=0I4Z4+I5Z5=E
Подставляя данные, запишем систему уравнений в матричной форме A×I=F:
-1-110000-1-11j40-j300000j3040-50000050-j60×I1I2I3I4I5=0000-63,286+j109,615
где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор-столбец токов ветвей цепи, F – вектор-столбец входных воздействий.
Составленное матричное уравнение решаем с помощью прикладной программы MathCAD:
Напряжения на элементах определяем по закону Ома в комплексной форме:
U1=U2=I1Z1=-0,496+j0,032∙j40=-1,279-j19,829=19,871e-j93,69° В
U3=I3Z3=-1,157+j0,075∙40=-46,269+j2,984=46,365ej176,31° В
U4=I4Z4=-0,951-j0,337∙50=-47,548-j16,845=50,443e-j160,491° В
U5=I5Z5=-2,108-j0,262∙-j60=-15,739+j126,46=127,436ej97,094° В
2. Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований.
С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентные сопротивления участков цепи и входное сопротивление цепи.
Z12=Z1∙Z2Z1+Z2=40ej90°∙30ej90°j40+j30=1200ej180°70ej90°=17,143ej90°=j17,143 Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.3.
Рис. 1.3.
Z123=Z12+Z3=j17,143+40=43,519ej23,199° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
Z1234=Z123∙Z4Z123+Z4=43,519ej23,199°∙5040+j17,143+50=2175,935ej23,199°90+j17,143=2175,935ej23,199°91,618ej10,784°=23,75ej12,414°=23,195+j5,106 Ом
Схема после преобразования показана на рис

. 1.5.
Рис. 1.5.
Zвх=Z12345=Z1234+Z5=23,195+j5,106-j60=23,195-j54,894=59,593e-j67,094° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
По закону Ома:
I5=EZвх=126,572ej120°59,593e-j67,094°=2,124e-j172,906°=-2,108-j0,262 А
Тогда:
U4=I5Z1234=2,124e-j172,906°∙23,75ej12,414°=50,443e-j160,491°=-47,548-j16,845 В
Дальнейший расчет проводится по закону Ома:
I4=U4Z4=50,443e-j160,491°50=1,009e-j160,491°=-0,951-j0,337 А
I3=U4Z123=50,443e-j160,491°43,519ej23,199°=1,159ej176,31°=-1,157+j0,075 А
Проверка. -I3-I4+I5=--0,951-j0,337--1,157+j0,075-2,108-j0,262=0 – первый закон Кирхгофа для 2 узла выполняется.
U1=U2=I3Z12=1,159ej176,31°∙17,143ej90°=19,871e-j93,69°=-1,279-j19,829 В
I1=U1Z1=19,871e-j93,69°40ej90°=0,497ej176,31°=-0,496+j0,032 А
I2=U2Z2=19,871e-j93,69°30ej90°=0,662ej176,31°=-0,661+j0,043 А
Проверка. -I1-I2+I3=--0,496+j0,032--0,661+j0,043-1,157+j0,075=0 – первый закон Кирхгофа для 1 узла выполняется.
Найденные в п. 2 значения комплексных величин токов и напряжений на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме, а также их мгновенные значения приведены в табл. 3. Сравниваем их с результатами расчета п.1.
Таблица 3
Расчетная
величина Комплексные значения Мгновенные значения
Алгебраическая форма Показательная форма
I1
А -0,496+j0,032
0,497ej176,31°
0,703sinωt+176,31°
I2
А -0,661+j0,043
0,662ej176,31°
0,937sinωt+176,31°
I3
А -1,157+j0,075
1,159ej176,31°
1,639sinωt+176,31°
I4
А -0,951-j0,337
1,009e-j160,491°
1,427sinωt-160,491°
I5
А -2,108-j0,262
2,124e-j172,906°
3,004sinωt-172,906°
U1
В -1,279-j19,829
19,871e-j93,69°
28,101sinωt-93,69°
U2
В -1,279-j19,829
19,871e-j93,69°
28,101sinωt-93,69°
U3
В -46,269+j2,984
46,365ej176,31°
65,57sinωt+176,31°
U4
В -47,548-j16,845
50,443e-j160,491°
71,338sinωt-160,491°
U5
В -15,739+j126,46
127,436ej97,094°
180,221sinωt+97,094°
Полученные значения совпадают, с результатами расчета в п.1.
3