Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме. 2

Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. 3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Допустимая погрешность выполнения баланса мощностей 2%. 5. Определить показания измерительных приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра. 6. Методом эквивалентного генератора определить ток в одной из ветвей схемы (номер ветви задается преподавателем).

В соответствии с указанным вариантом исходная схема показана на рис 1.2.
Рис. 1.2
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения Z1=40 Ом, Z2=-j30 Ом, Z3=j40 Ом, Z4=50 Ом, Z5=j60 Ом, комплекс действующего значения ЭДС:
E=Em2ejψ=179ej30°2=126,572ej30°=109,615+j63,286 В
1. Расчет цепи по законам Кирхгофа.
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по I и три по II законам Кирхгофа:
-I1-I2+I3=0-I3+I4-I5=0I1Z1-I2Z2=0I2Z2+I3Z3+I4Z4=E-I4Z4-I5Z5=-E
Подставляя данные, запишем систему уравнений в матричной форме A×I=F:
-1-110000-11-140j300000-j30j40500000-50-j60×I1I2I3I4I5=000109,615+j63,286-109,615-j63,286
где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор-столбец токов ветвей цепи, F – вектор-столбец входных воздействий.
Составленное матричное уравнение решаем с помощью прикладной программы MathCAD: I=A-1×F.
В результате комплексы токов ветвей цепи:
I1=0,806-j0,452=0,924e-j29,275° А
I2=0,602+j1,074=1,232ej60,725° А
I3=1,408+j0,623=1,54ej23,855° А
I4=2,046+j0,501=2,106ej13,75° А
I5=0,638-j0,122=0,6494e-j10,84° А
Напряжения на элементах определяем по закону Ома в комплексной форме.
U1=U2=I1Z1=0,806-j0,452∙40=32,233-j18,07=36,953e-j29,275° В
U3=I3Z3=1,408+j0,623∙j40=-24,907+j56,327=61,588ej113,855° В
U4=I4Z4=2,046+j0,501∙50=102,289+j25,029=105,307ej13,75° В
U5=I5Z5=0,638-j0,122∙j60=7,326+j38,257=38,952ej79,16° В
2. Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований.
С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентные сопротивления участков цепи и входное сопротивление цепи.
Z12=Z1∙Z2Z1+Z2=40∙30e-j90°40-j30=1200e-j90°50e-j36,87°=24e-j53,13°=14,4-j19,2 Ом
Схема после преобразования показана на рис

. 1.3.
Рис. 1.3.
Z123=Z12+Z3=14,4-j19,2+j40=14,4+j20,8=25,298ej55,305° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
Z1235=Z123∙Z5Z123+Z5=25,298ej55,305°∙60ej90°14,4+j20,8+j60=1517,893ej145,305°14,4+j80,8=1517,893ej145,305°82,073ej79,895°=18,494ej65,41°=7,696+j16,817 Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.5.
Рис. 1.5.
Zвх=Z12345=Z4+Z1235=50+7,696+j16,817=57,696+j16,817=60,097ej16,25° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
По закону Ома комплекс тока в неразветвленной части цепи:
I4=EZвх=126,572ej30°60,097ej16,25°=2,106ej13,75°=2,046+j0,501 А
Дальнейший расчет проводится также по закону Ома:
U5=I4Z1235=2,106ej13,75°∙18,494ej65,41°=38,952ej79,16°=7,326+j38,257 В
I5=U5Z5=38,952ej79,16°60ej90°=0,649e-j10,84°=0,638-j0,122 А
I3=U5Z123=38,952ej79,16°25,298ej55,305°=1,54ej23,855°=1,408+j0,623 А
U1=U2=I3Z12=1,54ej23,855°∙24e-j53,13°=36,953e-j29,275°=32,233-j18,07 В
I1=U1Z1=36,953e-j29,275°40=0,924e-j29,275°=0,806-j0,452 А
I2=U2Z2=36,953e-j29,275°30e-j90°=1,232ej60,725°=0,602+j1,074 А
Выполним проверку по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1 и 2:
-I1-I2+I3=-0,806-j0,452-0,602+j1,074+1,408+j0,623=0
-I3+I4-I5=-1,408+j0,623+2,046+j0,501-0,638-j0,122=0
Первый закон Кирхгофа выполняется.
Найденные в п. 2 значения комплексных величин токов и напряжений на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме, а также их мгновенные значения приведены в табл.1.3. Сравниваем их с результатами расчета п.1.
Таблица 3
Расчетная
величина Комплексные значения Мгновенные значения
Алгебраическая форма Показательная форма
I1
А 0,806-j0,452
0,924e-j29,275°
1,306sinωt-29,275°
I2
А 0,602+j1,074
1,232ej60,725°
,742sinωt+60,725°
I3
А 1,408+j0,623
1,54ej23,855°
2,177sinωt+23,855°
I4
А 2,046+j0,501
2,106ej13,75°
2,979sinωt+13,75°
I5
А 0,638-j0,122
0,649e-j10,84°
0,918sinωt-10,84°
U1
В 32,233-j18,07
36,953e-j29,275°
52,259sinωt-29,275°
U2
В 32,233-j18,07
36,953e-j29,275°
52,259sinωt-29,275°
U3
В -24,907+j56,327
61,588ej113,855°
87,099sinωt+113,855°
U4
В 102,289+j25,029
105,307ej13,75°
148,926sinωt+13,75°
U5
В 7,326+j38,257
38,952ej79,16°
55,086sinωt+79,16°
Полученные значения совпадают, с результатами расчета в п.1.
3