Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме. 4

Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. 3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Допустимая погрешность выполнения баланса мощностей 2%. 5. Определить показания измерительных приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра. 6. Методом эквивалентного генератора определить ток в одной из ветвей схемы (номер ветви задается преподавателем).

В соответствии с вариантом исходная схема показана на рис 1.2.
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения: Z1=j40 Ом, Z2=j30 Ом, Z3=40 Ом, Z4=-j50 Ом, Z5=60 Ом
Комплекс действующего значения ЭДС:
E=Em2ejψ=179ej15°2=126,572ej15°=122,259+j32,759 В
Рис. 1.2
1. Расчет цепи по законам Кирхгофа.
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по первому и три по второму законам Кирхгофа:
I1-I2-I3=0,I3-I4-I5=0,I1Z1+I2Z2=E,-I2Z2+I3Z3+I4Z4=0,-I4Z4+I5Z5=0.
Подставляя данные, запишем систему уравнений в матричной форме A×I=F:
1-1-100001-1-1j40j300000-j3040-j500000j5060×I1I2I3I4I5=00122,259+j32,75900,
где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор-столбец токов ветвей цепи, F – вектор-столбец входных воздействий.
Составленное матричное уравнение решаем с помощью прикладной программы MathCAD:
Напряжения на элементах определяем по закону Ома в комплексной форме:
U1=I1Z1=0,786-j1,592∙j40=63,7+j31,446=71,039ej26,274° В;
U2=I2Z2=0,044-j1,952∙j30=58,56+j1,313=58,574ej1,284° В;
U3=I3Z3=0,742+j0,359∙40=29,696+j14,38=32,994ej25,838° В;
U4=U5=I4Z4=0,261+j0,577∙-j50=28,864-j13,067=31,684e-j24,357° В.
2. Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований.
С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентные сопротивления участков цепи и входное сопротивление цепи.
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=50e-j90°∙60-j50+60=3000e-j90°78,102e-j39,806°=38,411e-j50,194°=24,59-j29,508 Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3а.
а)б)
в)г)
Рис. 1.3.
Z345=Z3+Z45=40+24,59-j29,508=64,59-j29,508=71,011e-j24,553° Ом.
Схема после преобразования показана на рис

. 1.3б.
Z2345=Z2∙Z345Z2+Z345=30ej90°∙71,011e-j24,553°j30+64,59-j29,508=2130,343ej65,447°64,59+j0,492=2130,343ej65,447°64,592ej0,436°=32,982ej65,01°=13,933+j29,894 Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3в.
Zвх=Z12345=Z1+Z2345=j40+13,933+j29,894=13,933+j69,894=71,269ej78,726° Ом.
Схема после преобразования показана на рис. 1.3г.
По закону Ома:
I1=EZвх=126,572ej15°71,269ej78,726° =1,776e-j63,726°=0,786-j1,592 А.
Тогда:
U1=I1Z1=0,786-j1,592∙j40=63,7+j31,446=71,039ej26,274° В;
Дальнейший расчет проводится по закону Ома:
U2=I1Z2345=1,776e-j63,726°∙32,982ej65,01°=58,574ej1,284°=58,56+j1,313 В;
I2=U2Z2=58,574ej1,284°30ej90°=1,952e-j88,716°=0,044-j1,952 А;
I3=U2Z345=58,574ej1,284°71,011e-j24,553°=0,825ej25,838°=0,742+j0,359 А.
Проверка. I1-I2-I3=0,786-j1,592-0,044-j1,952-0,742+j0,359=0 – первый закон Кирхгофа для 1 узла выполняется.
U3=I3Z3=0,742+j0,359∙40=29,696+j14,38=32,994ej25,838° В;
U4=U5=I3Z45=0,825ej25,838°∙38,411e-j50,194°=31,684e-j24,357°=28,864-j13,067 В.
I4=U4Z4=31,684e-j24,357°50e-j90°=0,634ej65,643°=0,261+j0,577 А;
I5=U5Z5=31,684e-j24,357°60=0,528e-j24,357°=0,481-j0,218 А;
Проверка. I3-I4-I5=0,742+j0,359-0,261+j0,577-0,481-j0,218=0 – первый закон Кирхгофа для 2 узла выполняется.
Найденные в п. 2 значения комплексных величин токов и напряжений на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме, а также их мгновенные значения приведены в табл. 1.3. Сравниваем их с результатами расчета п.1.
Таблица 1.3
Расчетная
величина Комплексные значения Мгновенные значения
Алгебраическая форма Показательная форма
I1
А 0,786-j1,592
1,776e-j63,726°
2,512sinωt-63,726°
I2
А 0,044-j1,952
1,952e-j88,716°
2,761sinωt-88,716°
I3
А 0,742+j0,359
0,825ej25,838°
1,167sinωt+25,838°
I4
А 0,261+j0,577
0,634ej65,643°
0,896sinωt+65,643°
I5
А 0,481-j0,218
0,528e-j24,357°
0,747sinωt-24,357°
U1
В 63,7+j31,446
71,039ej26,274°
100,464sinωt+26,274°
U2
В 58,56+j1,313
58,574ej1,284°
82,837sinωt+1,284°
U3
В 29,696+j14,38
32,994ej25,838°
46,661sinωt+25,838°
U4
В 28,864-j13,067
31,684e-j24,357°
44,807sinωt-24,357°
U5
В 28,864-j13,067
31,684e-j24,357°
44,807sinωt-24,357°
3