Решить дифференциальное уравнение первого порядка: 2x2y3-1ydx+4x2y3-3xdy=0

Решить дифференциальное уравнение первого порядка: 2x2y3-1ydx+4x2y3-3xdy=0

Уравнение представлено в виде:
Px,ydx+Qx,ydy=0
Px,y=2x2y3-1y=2x2y4-y
Qx,y=4x2y3-3x=4x3y3-3x
∂P∂y=(2x2y4-y)y'=8x2y3-1
∂Q∂x=(4x3y3-3x)x'=12x2y3-3
∂P∂y≠∂Q∂x
Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Подберем интегрирующий множитель:
∂P∂y-∂Q∂x=8x2y3-1-12x2y3-3=-4x2y3+2
1P∙∂P∂y-∂Q∂x=-4x2y3+22x2y3-1y=-22x2y3-12x2y3-1y=-2y
Данное выражение зависит только от переменной y, поэтому интегрирующий множитель будем искать как функцию от y.
1μ∙dμdy=-1P∙∂P∂y-∂Q∂x=2y
1μ∙dμdy=2y 2dyy=dμμ
Интегрируем обе части уравнения:
dμμ=lnμ 2dyy=2lny
lnμ=2lny => μ=y2
Умножим обе части исходного уравнения на μy
2x2y3-1y3dx+4x2y3-3xy2dy=0
Px,y=2x2y6-y3 ∂P∂y=12x2y5-3y2
Qx,y=4x3y5-3xy2 ∂Q∂x=12x2y5-3y2
∂P∂y=∂Q∂x
Значит это уравнение в полных дифференциалах