Решить дифференциальное уравнение второго порядка. x''+17x'+66x=396t+828; x0=28; x'0=-126. Частное решение находится двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов. б)

Решить дифференциальное уравнение второго порядка. x''+17x'+66x=396t+828; x0=28; x'0=-126. Частное решение находится двумя способами: а) методом неопределенных коэффициентов. б) методом Лагранжа.

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.
x''+17x'+66x=396t+828
Его общее решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
x''+17x'+66x=0
Теперь, составим и решим соответствующее характеристическое уравнение
λ2+17λ+66=0
D=172-4∙66=289-264=25
λ1=-17-252=-17-52=-222=-11
λ1=-17+252=-17+52=-122=-6
Корнями характеристического уравнения являются действительные различные числа. Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
x=C1e-11t+C2e-6t
Теперь найдем частное решения уравнения x''+17x'+66x=396t+828.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:
x=At+B
Найдём первую и вторую производную:
x'=A
x''=0
Подставим x' и x'' в уравнение
x''+17x'+66x=396t+828
0+17A+66At+B=396t+828
66A∙t+17A+66B=396t+828
Приравняем друг к другу коэффициенты при t в обеих частях равенства, получим
66A=39617A+66B=828
Отсюда находим, что A=6 и B=11

. Тогда частным решением будет функция
x=6t+11
а общим
x=C1e-11t+C2e-6t+6t+11
Воспользуемся методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной.
Будем считать, что C – это функция, зависящая от t.
Тогда общим решением заданного уравнения является выражение
x=C1t∙e-11t+C2t∙e-6t
Для определения функций C1t и C2t имеем систему уравнений:
C1't∙e-11t+C2't∙e-6t=0-11e-11t∙C1't-6e-6t∙C2't=396t+828
Выразим из первого уравнения C1't.
C1't∙e-11t=-C2't∙e-6t
C1't=-C2't∙e-6te-11t=-C2't∙e5t
C1't=-C2't∙e5t
Теперь подставим во второе уравнение C1't и выразим из него C2't:
-11e-11t∙C1't-6e-6t∙C2't=396t+828
-11e-11t∙-C2't∙e5t-6e-6t∙C2't=396t+828
11e-6t∙C2't-6e-6t∙C2't=396t+828
5e-6t∙C2't=396t+828
C2't=396t+8285∙e6t
Тогда, учитывая C1't=-C2't∙e5t, получаем
C1't=-396t+8285∙e11t
Проинтегрировав C1't и C2't, находим C1t и C2t:
C1t=-396t5e11t-8285e11tdt=-3965t∙e11tdt-8285e11tdt=
=-3965t∙e11t11-e11t121-8285∙e11t11+C1=-365t∙e11t-79255∙e11t+C1
C2t=396t5e6t+8285e6tdt=3965t∙e6t dt+8285e6tdt=
=3965t∙e6t6-e6t36+8285∙e6t6+C2=665t∙e6t+1275e6t+C2
Подставим C1t и C2t в x=C1t∙e-11t+C2t∙e-6t, получаем
x=-365t∙e11t-79255∙e11t+C1∙e-11t+665t∙e6t+1275e6t+C2∙e-6t=
=-365t-79255+C1e-11t+665t+1275+C2e-6t=
=C1e-11t+C2e-6t+6t+11
Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид:
x=C1e-11t+C2e-6t+6t+11
Теперь найдем решение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка при x0=28 и x'0=-126.
Вычислим первую производную общего решения
x'=-11C1e-11t-6C2e-6t+6
Составим систему уравнений, учитывая начальные условия.
C1e0+C2e0+0+11=28-11C1e0-6C2e0+6=-126C1+C2+11=28-11C1-6C2+6=-126C1+C2=1711C1+6C2=132
Так как C1=17-C2, то получаем
1117-C2+6C2=132
187-17C2+6C2=132
6-17C2=132-187
-11C2=-55
C2=5
Тогда если C2=5, то C1=17-C2=17-5=12.
В итоге получим
x=12e-11t+5e-6t+6t+11