Решить дифференциальное уравнение операторным методом x''+3x'+5x=sin2t,x0=x'0=-2

Решить дифференциальное уравнение операторным методом x''+3x'+5x=sin2t,x0=x'0=-2

Применяем преобразование Лапласа:
x Xp
x' pXp-x0=pXp+2
x'' ppXp+2-x'0=p2Xp+2p+2
sin2t 2p2+4
И получаем операторное уравнение:
p2Xp+2p+2+3pXp+2+5Xp=2p2+4
p2+3p+5Xp=2p2+4-2p-8
Xp=2(p2+4)p2+3p+5-2p+8p2+3p+5
Первую дробь представим суммой дробей вида:
Ap+Bp2+4+Cp+Dp2+3p+5
Имеем:
Ap+Bp2+4+Cp+Dp2+3p+5=Ap+Bp2+3p+5+(Cp+D)(p2+4)(p2+4)p2+3p+5=
=A+Cp3+3A+B+Dp2+5A+3B+4Cp+5B+4Dp2+4p2+3p+5≡
≡2(p2+4)p2+3p+5
Приравниваем соответствующие коэффициенты:
A+C=03A+B+D=05A+3B+4C=05B+4D=2 A=-637B=237C=637D=1637
Т.е.:
2(p2+4)p2+3p+5=137∙-6p+2p2+4+137∙6p+16p2+3p+5
И изображение:
Xp=137∙-6p+2p2+4+137∙6p+16p2+3p+5-2p+8p2+3p+5=
=-637∙pp2+4+137∙2p2+4-137∙68p+280p+322+114=
=-637∙pp2+4+137∙2p2+4-137∙68p+32+178p+322+114=
=-637∙pp2+4+137∙2p2+4-6837∙p+32p+322+114-3563711∙112p+322+114
Используем соотношения:
2p2+4 sin2t; pp2+4 cos2t
pp2+114 cos112t; 112p2+114 sin112t
И применяя теорему о смещении изображения:
e-atft Fp+a
Восстанавливаем оригинал и находим решение задачи Коши:
xt=sin2t-6cost37-e-32t3768cos112t+3561111sin112t