Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа Δu=0 в круге 0≤r≤1, 0<φ<2π ((r,φ) –

Решить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа Δu=0 в круге 0≤r≤1, 0<φ<2π ((r,φ) – полярные координаты) при следующих граничных условиях: Граничные условия 8 u1,φ=10sin8φ+17sin3φ

Для функции ur,φ имеем следующую задачу Дирихле
Δu≡1r∂∂rr∂u∂r+1r2∂2u∂φ2=0, 0≤ r≤1, 0≤φ≤2π,
(1)
u1,φ=10sin8φ+17sin3φ.
(2)
По смыслу задачи решение должно быть ограниченным
ur,φ<+∞, r<1,
(3)
и периодическим по полярному углу φ
ur,φ+2π=ur,φ.
(4)
Применим метод Фурье разделения переменных. Ищем нетривиальное решение уравнения (1) в виде произведения
ur,φ=ZrΦφ.
Подставляем ur,φ в таком виде в (1)
1r∂∂rr∂ZrΦφ∂r+1r2∂2ZrΦφ∂φ2=0.
Умножим это уравнение на r2ZrΦφ и учитывая, что Zr, Φφ – функции только одного аргумента, получим
rZrddrrdZrdr+1Φφd2Φφdφ2=0,
rZrddrrdZrdr=-1Φφd2Φφdφ2=λ=const,
поскольку левая часть равенства – это функция только от r, а правая часть – только от φ.
В результате переменные разделились, и получили два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
Φ''(φ)+λΦφ=0,
(5)
rddrrdZrdr-λZr=0,
r2Z''r+rZ'r-λZr=0.
(6)
Из условия периодичности (4) функции ur,φ следует периодичность функции Φφ
Φφ+2π=Φφ,
(7)
Общее решение уравнения (5) имеет вид
Φφ=Acosλφ+B sinλφ.
Из условия периодичности (7) следует, что λ=n, n=0,1,2,…
Получили следующую систему собственных функций
Φnφ=Ancosnφ+Bn sinnφ, n=1,2,…
Φ0φ=A0
Уравнение (6) при n>0 имеет вид
r2Zn''r+rZn'r-n2Znr=0.
Это уравнение Эйлера второго порядка, его решение ищем в виде Znr~rα

. Подставляем в уравнение
r2αα-1rα-2+rαrα-1-n2rα=0.
α2=n2 ⇒ α=±n.
Следовательно, радиальные собственные функции при n>0 будут
Znr=Cnr-n+Dnrn.
При n=0 уравнение (6) примет вид
rZ0'r'=0 ⇒ rZ0'r=C0 ⇒ Z0'r=C0r ⇒
Z0r=C0lnr+D0.
Из ограниченности (3) функции ur,φ следует ограниченность функций Znr (n=0,1,2,…)
Znr<+∞, r<1,
Поскольку функции r-n и lnr неограничены при r→0, то следует положить Cn=0 и C0=0