Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями:

Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми начальными и граничными условиями:

Данное уравнение является неоднородным уравнением параболического типа (уравнением теплопроводности) с однородными граничными и начальными условиями.
Найдем вначале собственные функции соответствующей однородной задачи:
Решаем задачу методом Фурье.
Положим
.
Вычислив производные и и, подставив их в уравнение, получим
.Последнее равенство выполняется только в том случае, если обе части его не зависят ни от х, ни от t, т.е. представляют собой одну и туже постоянную, которую обозначим за , т.е.
.
Отсюда получаем два обыкновенных однородных линейных уравнений первого и второго порядка
и
.
Для того чтобы получить не равные нулю решения, удовлетворяющие граничным условиям, необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям
.
Воспользовавшись ими, получаем
Получаем задачу Штурма-Лиувилля:
Решаем ее

.
Составим характеристическое уравнение: . Его решения: .
Рассмотрим 3 различных случая.
1) λ<0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляя граничные условия, получим систему
Определитель системы:
.
Значит, С1=С2=0 и задача Штурма-Лиувилля в данном случае имеет только нулевое решение.
2) λ=0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Также имеем только нулевое решение.
3) λ>0.
В этом случае и общее решение уравнения имеет вид
.
Подставляем граничные условия:
.
Система будет иметь ненулевое решение, если С2≠0, .
Отсюда
.
Получили собственные значения