Решить следующую задачу Коши utt=uxx, t>0, x>0, (1) ut=0=x2, utt=0=x, (2) ux=0=t2. (3) Замечание: На самом деле это не задача

Решить следующую задачу Коши utt=uxx, t>0, x>0, (1) ut=0=x2, utt=0=x, (2) ux=0=t2. (3) Замечание: На самом деле это не задача Коши, а смешанная задача, т.к. есть граничное условие.

Уравнение характеристик для волнового уравнения (1) имеют вид
x+t=C1, x-t=C2.
В характеристических координатах ξ=x+t, η= x-t уравнение (1) для функции vξ,η=u(x,t) имеет вид
vξη=0.
Его общее решение
vξ,η=fξ+gη,
где f и g − некоторые произвольные дифференцируемые функции.
Следовательно, в исходных координатах решение будет
ux,t=fx+t+gx-t .
(4)
Частная производная по времени равна
utx,t=f'x+t-g'x-t.
Из начальных условий (2) и граничного условия (3) получим
ut=0=fx+gx=x2, x>0utt=0=f'x-g'x=x, x>0ux=0=ft-g-t=t2, t>0.
(5)
Дифференцируя первое уравнение, имеем
f'x+g'x=2x.
Складываем это уравнение со вторым уравнением системы, получим
2 f'x=3x ⟹ f'x=32x.
Интегрируя находим
fx=34x2+C, x∈-∞,+∞

.
(4)
Частная производная по времени равна
utx,t=f'x+t-g'x-t.
Из начальных условий (2) и граничного условия (3) получим
ut=0=fx+gx=x2, x>0utt=0=f'x-g'x=x, x>0ux=0=ft-g-t=t2, t>0.
(5)
Дифференцируя первое уравнение, имеем
f'x+g'x=2x.
Складываем это уравнение со вторым уравнением системы, получим
2 f'x=3x ⟹ f'x=32x.
Интегрируя находим
fx=34x2+C, x∈-∞,+∞