Случайный вектор (ξ,η) распределен равномерно в области G, изображенной на рис.3.3. 1) Найти плотность

Случайный вектор (ξ,η) распределен равномерно в области G, изображенной на рис.3.3. 1) Найти плотность распределения вероятностей компонент случайного вектора и решить вопрос об их зависимости или независимости. 2) Выяснить, коррелированы ли компоненты случайного вектора (ξ,η). 3) Найти Р{(ξ,η) € D}, где D = {(x,y)│ x 2 + y 2 ≤ 1}.

Учитывая свойство плотности распределения:
V=Sh=1;S=12*2*2=2;h=12;
fx;y=12,x,y∈G;0,x,y∉G;
Границы области:
G=0,x<-1;y=x,-1≤x≤1;y=1;1≤x≤-1;x=-1;1≤y≤-1.
Обход против часовой стрелки:
f1x=12-11dy=12*2y=x;f2x=121-1dy=-1;
fy=121-1dx=1;
Независимы, так как выполняется условие зависимости:
fx;y=fx*fy;
Вычислим характеристики двумерной случайной величины:
MX=12xdS=12-11dxx1xdy=12-11x-x2dx=14x2-16x3-11=14-16-14-16=0;
MY=12ydS=12-11dxx1ydy=14-111-x2dx=14x-112x3-11=14-112-14-112=-16;
DX=12x2dS-Mx2=12-11dxx1x2dy-0=12-11x2-x3dx-0=16x3-18x4-11-0=16-18-16+18-0=0;
DY=12y2dS-MY2=12-11dxx1y2dy-136=16-111-x3dx-136=16x-124x4-11-136=16-124+16+124-136=1136;
σx=0;σy=0.306;
kxy=12xydS-MXM(Y)=12-11xdxx1ydy-0=14-11x-x3dx=18x2-116x4-11=18-116-18+116=0;
rxy=kxyσxσy=0-некоррелированы.
Вероятность попадания в круг:
Через интеграл сложно, вероятность найдем как отношение площади треугольника к площади окружности:
p=Sπr2=23.14=0.637.
p=1202πdφ01rdr=1402πdφ=2π4