Случайные величины ξ, η независимы и одинаково распределены. Найти условную плотность pξ|ξ+η=z(x) распределения ξ

Случайные величины ξ, η независимы и одинаково распределены. Найти условную плотность pξ|ξ+η=z(x) распределения ξ при условии ξ+η=z в следующих случаях: а) ξ и η имеют показательное распределение с плотностью px=λe-λx, x≥0.

Найдем плотность распределения случайной величины ξ+η=z. Так как ξ и η имеют показательное распределение с плотностью px=λe-λx, x≥0 и ξ, η независимы, то по формуле свертки ищем распределение:
pξ+η=zx=-∞+∞pξs∙pηx-sds=0+∞λe-λs∙pηx-sds.
По условию s≥0, иначе pξs=0, а также x-s≥0, иначе, pηx-s=0. Следовательно, 0≤s≤x:
pξ+η=zx=0xλe-λs∙λe-λ(x-s)ds=λ20xe-λs-λx+λsds=λ20xe-λxds=λ2e-λx0xds=λ2e-λx∙s0x=λ2e-λx∙x-0=λ2e-λxx.
Согласно формуле, условная плотность распределения равна:
pξ|ξ+η=zx,y=pξ,zx,ypzy,
где pξ,zx,y – совместная плотность распределения; pzy – плотность распределения суммы величин ξ+η=z (найдена выше).
Аналогично, для pz|ξx,y=pξ,zx,ypξx.
Тогда
pξ|ξ+η=zx,y∙pzy=pξ,zx,y
pz|ξx,y∙pξx=pξ,zx,y
или
pξ|ξ+η=zx,y∙pzy=pz|ξx,y∙pξx
pξ|ξ+η=zx,y=pz|ξx,y∙pξxpzy.
Из условия нормировки -∞+∞pξ|ξ+η=zx,ydx=1 имеем:
-∞+∞pξ|ξ+η=zx,ydx=-∞+∞pz|ξx,y∙pξxpzydx
Так как pξx=λe-λx при x≥0, то
1=0+∞pz|ξx,y∙λe-λxλ2e-λyydx
0+∞pz|ξx,y∙e-λ(x+y)λ∙ydx=1
Фиксируя x, находим:
pz|ξx,y0+∞e-λ(x+y)λ∙ydx=1
pz|ξx,y=10+∞e-λ(x+y)λ∙ydx=λ∙y∙eλy0+∞e-λxdx=λ∙y∙eλy-1λ0+∞e-λxd(-λx)=-λ2∙y∙eλye-λx0+∞=-λ2∙y∙eλy0-1=λ2∙y∙eλy.
Тогда искомая плотность распределения равна:
pξ|ξ+η=zx,y=pz|ξx,y∙pξxpzy=λ2∙y∙eλy∙λe-λxλ2e-λyy=λe-λ(x-2y).
Фиксируя y, получаем pξ|ξ+η=zx,Y=y=λe-λ(x-2y).
Ответ: pξ|ξ+η=zx,Y=y=λe-λ(x-2y).