Случайная точка с координатами (X, Y) равномерно распределена в треугольнике с вершинами в точках

Случайная точка с координатами (X, Y) равномерно распределена в треугольнике с вершинами в точках с координатами (0;0), (-1 ;0) и (0;-2). Найти: а)совместную плотность двумерного распределения f(x,y); б)одномерные (маргинальные) плотности f1x и f2y функции распределения F1x и F2y. нарисовать графики всех полученных функций; в)ковариацию Cov(X,Y) и коэффициент корреляции ρxy. Установить, коррелированы/некоррелированы, зависимы или независимы случайные величины Х и Y г)условную плотность f2yx. д)условные математическое ожидание M(Y|X) и дисперсию D(Y|X) случайной величины Y. Найти их значения при X = -0,8. е)вероятность P(X<-0,3; Y>-0,7); P(X>Y).

Область D — треугольник с вершинами в точках 0;0,-1;0,0;-2:
y=-2x-2 соединяет точки -1;0 и0;-2.
а) Поскольку (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, то плотность f(x,y) равна константе, т.е. единице, делённой на площадь области D, SD=1.
fx,y=1, (x,y)∈D0, (x,y)∉D,
D: -1≤x≤0-2x-2≤y≤0
б)
f1x=-2x-20fx,ydy=-2x-201dy=2x+2,
f1x=2x+2, x∈[-1;0]0, x∉[-1;0].
F1x=-∞xf1xdx=-1x2x+2dx=x2+2x-1x=x2+2x+1=x+12
F1x=0, x≤-1x+12, -1<x≤01, x>0
Поскольку y=-2x-2 , то x=-y2-1.
f2y=-y2-10fx,ydx=-y2-101dx=1+y2,
f2y=1+y2, y∈[-2;0]0, y∉[-2;0].
F2y=-∞yf2ydy=-2y1+y2dy=y+y24-2y=y24+y+1=1+y22
F2y=0, y≤-21+y22, -2<y≤01, y>0
в)
MX=-∞+∞xf1xdx=-102x2+2xdx=2x33+x2-10=23-1=-13;
MX2=-∞+∞x2f1xdx=-102x3+2x2dx=x42+2x33-10=-12+23=16
DX=MX2-MX2=16--132=118
MY=-∞+∞yf2ydy=-20y+y22dy=y22+y36-20=-2+86=-23;
MY2=-∞+∞y2f2ydy=-20y2+y32dy=y33+y48-20=83-2=23.
DY=MY2-MY2=23--232=29.
Ковариация:
Cov(X,Y)=MXY-MX∙MY
MXY=-10dx-2x-20xy dy=-10xdx-2x-20y dy=-10xy22-2x-20dx=
=-2-10xx+12dx=-2-10x3+2x2+xdx=-2x44+2x33+x22-10=
=-2-14+23-12=16.
CovX,Y=16--13∙-23=-118.
Коэффициент корреляции ρxy:
ρxy=Cov(X,Y)DX∙DY=-118118∙29=-0.5.
Поскольку ρxy≠0, то случайные величины Х и Y являются коррелированными и зависимыми.
г) Условная плотность распределения
f2yx=fx,yf1x
f2yx=12x+2при (x,y)∈D
д)условные математическое ожидание M(Y|X) и дисперсию D(Y|X) случайной величины Y