Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при 4 – х бросках,

Случайная величина Х – число попаданий мячом в корзину при 4 – х бросках, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,4. Для случайной величины Х найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

Найдем ряд распределения.
Случайная величина Х - попаданий мячом в корзину, может принимать скудеющие значения: 0, 1, 2, 3, 4.
Так как число попадания мячом в корзину в 4 независимых испытаниях, в каждом их которых вероятность наступления события постоянны, то имеем биноминальное распределение. Вероятности будем вычислять по формуле Бернулли.
Pnk=Cnkpkqn-k
где Cnk - число сочетаний, q=1-p.
n=4 - общее число испытаний
k=0,1,2,3,4
p=0,4
q=1-p=1-0,4=0,6
Вероятность того, что из 4-х бросков будет ни одного попадания равна:
P40=C40∙0,40∙0,64=4!0!4-0!∙1∙0,216=0,13
Вероятность того, что из 4-х бросков будет одно попадание равна:
P41=C41∙0,41∙0,63=4!1!4-1!∙0,4∙0,064=3!∙43!∙0,0864=0,35
Вероятность того, что из 4-х бросков будет ровно два попадания равна:
P42=C42∙0,42∙0,62=4!2!4-2!∙0,16∙0,36=2!∙3∙41∙2∙2!∙0,0576=0,35
Вероятность того, что из 4-х бросков будет ровно три попадания равна:
P43=C43∙0,43∙0,61=4!3!4-3!∙0,16∙0,36=2!∙3∙41∙2∙2!∙0,0384=0,15
Вероятность того, что из 4-х бросков будет все 4 попадания равна:
P44=C44∙0,44∙0,60=4!4!4-4!∙0,0256∙1=0,02
Ряд распределения имеет вид:
xi
0 1 2 3 4
pi
0,13 0,35 0,35 0,15 0,02
Контроль: 0,13+0,35+0,35+0,15+0,02=1
2) Найдем функцию распределения
При х≤0, F(x)=0
При 0<х≤1, F(x)=0+0,13=0,13
При 1<х≤2, F(x)=0,13+0,35=0,48
При 2<х≤3, F(x)=0,48+0,35=0,83
При 3<х≤4, F(x)= 0,83+0,15=0,98
При х>4, F(x)=0,98+0,02=1
Тогда функция распределения имеет вид:
Fx=0, х≤00,13, 0<х≤10,48, 1<х≤20,83, 2<х≤3 0,98, 3<х≤4 1, х>5
3) Найдем M(X) и D(X).
Так как имеем биноминальное распределение, то математическое ожидание найдем по формуле
MX=np
Тогда
MX=4∙0,4=1,6
Найдем дисперсию DX=npq=4∙0,4∙0,6=0.96