Случайные величины X,Y имеют совместную плотность: px,y=sinx+y2, если 0≤x≤π2,0≤y≤π20,в остальных случаях Найти px+yz.

Случайные величины X,Y имеют совместную плотность: px,y=sinx+y2, если 0≤x≤π2,0≤y≤π20,в остальных случаях Найти px+yz.

Удобнее найти предварительно функцию распределения Fz как вероятность Fz=PZ<z, а после чего воспользоваться соотношением pz=F'z.
При z≤0 имеем Fz=0, а при z>π имеем Fz=1.
Сделаем схематический рисунок при 0<z≤π2:
Функция распределения равна вероятности попасть точке X,Y в выделенный равнобедренный треугольник т.е.:
Fz=0zdx0z-xsinx+y2dy=120z-cosx+y0z-xdx=
=120zcosx-coszdx=12sinx-xcosz0z=12sinz-zcosz
Сделаем схематический рисунок при π2<z≤π:
Найдем функцию распределения как вероятность события, противоположного событию «точка X,Y не попадет в выделенную область» т.е.:
Fz=1-z-π2π2dxz-xπ2sinx+y2dy=1-12z-π2π2-cosx+yz-xπ2dx=
=1-12z-π2π2sinx+coszdx=1-12-cosx+xcoszz-π2π2=
=1-12sinz+π-zcosz
Получили:
Fz=0,z≤012sinz-zcosz,0<z≤π21-12sinz+π-zcosz,π2<z≤π1,z>π
И плотность равна:
pz=F'z=0,z≤0zsinz2,0<z≤π2π-zsinz2,π2<z≤π0,z>π