Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения

Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения (Решение → 51593)

Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения и ; Найдите выражение для а) одномерной плотности распределения, б) одномерной и двумерной функции распределения случайного процесса . Вычислите характеристики , и случайного процесса .



Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения (Решение → 51593)

Так как случайный процесс равен случайной величине для любого значения аргумента t, то одномерная плотность распределения процесса совпадает с плотностью распределения величины : =. Следовательно,
ft,x=px⟹одномерная плотность распределения равна
ft,x=-0.24x+0.5, x∈-1;1 и pt,x=0, x∉-1;1,для любого t∈R
Для нахождения одномерной функции распределения воспользуемся формулой , где – функция распределения случайной величины . Для нахождения её рассмотрим три случая расположения точки x на оси :
1) x<-1, тогда FWx=-∞xpsds=-∞x0ds=0,
2)-1≤x≤1, тогда FWx=-∞-10ds+-1x-0,24s+0.5ds=-0.12x2+0.5x+0.62 ,
3) x>1, тогда FWx=-∞xpsds=-∞-10ds+-11-0.24s+0.5ds+1x0ds=1,
Получаем
FWx=0,x<-1-0.12x2+0.5x+0.62,-1≤x≤11x>1, t∈R
По определению Ft1, t2, x1,x2=P[Xt1<x1, Xt2<x2], значит
Ft1, t2, x1,x2=PW<x1, W<x2=PW<x1,, если x1<x2P,W<x2, если x2<x1⟹
Ft1, t2, x1,x2=FWx1,если x1<x2FWx2,если x2<x1 для t1, t2 ∈R
mxt=-∞+∞xft,xdx=-11x-0.24x+0.5dx=-0.16
Dxt=-∞+∞x2ft,xdx-mxt2=-11x2-0.24x+0.5dx--0.162=0.308
Найдем центрированную функцию:Xt=Xt+0.16
Найдем корреляционную функцию
Kxt,t'=MXtXt'=MW+0.162=DW=0.308



. Для нахождения её рассмотрим три случая расположения точки x на оси :
1) x<-1, тогда FWx=-∞xpsds=-∞x0ds=0,
2)-1≤x≤1, тогда FWx=-∞-10ds+-1x-0,24s+0.5ds=-0.12x2+0.5x+0.62 ,
3) x>1, тогда FWx=-∞xpsds=-∞-10ds+-11-0.24s+0.5ds+1x0ds=1,
Получаем
FWx=0,x<-1-0.12x2+0.5x+0.62,-1≤x≤11x>1, t∈R
По определению Ft1, t2, x1,x2=P[Xt1<x1, Xt2<x2], значит
Ft1, t2, x1,x2=PW<x1, W<x2=PW<x1,, если x1<x2P,W<x2, если x2<x1⟹
Ft1, t2, x1,x2=FWx1,если x1<x2FWx2,если x2<x1 для t1, t2 ∈R
mxt=-∞+∞xft,xdx=-11x-0.24x+0.5dx=-0.16
Dxt=-∞+∞x2ft,xdx-mxt2=-11x2-0.24x+0.5dx--0.162=0.308
Найдем центрированную функцию:Xt=Xt+0.16
Найдем корреляционную функцию
Kxt,t'=MXtXt'=MW+0.162=DW=0.308

Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения (Решение → 51593)

Случайная функция для любого , где – непрерывная случайная величина с плотностью распределения (Решение → 51593)