Стержни стальные с площадью поперечного сечения А1 = 10-3 м2, А2 = 1,2۰10-3 м2.

Стержни стальные с площадью поперечного сечения А1 = 10-3 м2, А2 = 1,2۰10-3 м2. Первый стержень изготовлен короче проектного размера на величину =2 мм, модуль упругости первого рода Е= 2۰105 МПа. Дано: а = 1м, А1 = 10-3 м2, А2 = 1,2۰10-3 м2, =2 мм, Е = 2۰105 МПа. Определить: 1 и 2.

Из исходной расчётной схемы 81 имеем следующее соотношение l2 / l1 = sin60°=32 или l2 = 32 ۰ l1 . Согласно масштаба l2 = 1,6۰а =1,6 м, l1 = 1,6 23 =3,23 м.
Рисунок 1.3 – Расчётная схема
По определению:
σ1=N1A1;
σ2=N2A2;
где N1 - растягивающая внутренняя сила в стержне 1;
N2 - сжимающая внутренняя сила в стержне 2;
A1 и A2 - площади поперечных сечений соответственно 1 и 2 стержней.
Уравнения равновесия моментов относительно точки А:
ΣMA=0; N1∙2a∙sin60°-N2∙3a=0; (1.3)
Тогда
N1∙2∙32-N2∙3=0
или N1=N2∙3
. (1.3а)
Представим систему в деформированном виде (рис.1.4). Рассмотрим подобные треугольники АСС1 и АВВ1, откуда:
CC1BB1=2a3a=23
7048511938000 CC1Δl2=23
1651012255500 CC1=Δl2۰23
(1.4)
Рисунок 1.4 – Система в деформированном виде.
Из рисунка 1.4 видно, что
δ-Δl1CC1=cos30°=32
, отсюда СС1
=23۰( - Δl1)
тогда, подставляя эти значения в уравнение (1.4) получим уравнение совместности деформаций:
23۰(δ-Δl1)=Δl2۰23
11811015113000 (δ-Δl1)=Δl2۰13
(1.5)
По закону Гука Δl1=N1l1EA1;
Δl2=N2l2EA2;
Подставляя эти значения в уравнение (1.5), получаем:
(δ-N1l1EA1)=N2l2EA2۰13
,
(1.6)
Решая уравнение (1.6) с учётом уравнения (1.3а) относительно N и, учитывая, что l2 = 1,6 м, l1 = 3,23 м 2 получаем:
N2=δ3∙l1EA1+13l2EA2=2∙10-33∙3,232∙1011۰10-3+131,6∙2∙1011۰2۰10-3=109,2кН
Тогда в соответствии с (1.3а) N1 =189,1кН;
Тогда:
σ1=N1A1=189,1∙10310-3=0,189
МПа
σ2=N2A2=109,2∙1031,2۰10-3=0,091
МПа

. (1.3а)
Представим систему в деформированном виде (рис.1.4). Рассмотрим подобные треугольники АСС1 и АВВ1, откуда:
CC1BB1=2a3a=23
7048511938000 CC1Δl2=23
1651012255500 CC1=Δl2۰23
(1.4)
Рисунок 1.4 – Система в деформированном виде.
Из рисунка 1.4 видно, что
δ-Δl1CC1=cos30°=32
, отсюда СС1
=23۰( - Δl1)
тогда, подставляя эти значения в уравнение (1.4) получим уравнение совместности деформаций:
23۰(δ-Δl1)=Δl2۰23
11811015113000 (δ-Δl1)=Δl2۰13
(1.5)
По закону Гука Δl1=N1l1EA1;
Δl2=N2l2EA2;
Подставляя эти значения в уравнение (1.5), получаем:
(δ-N1l1EA1)=N2l2EA2۰13
,
(1.6)
Решая уравнение (1.6) с учётом уравнения (1.3а) относительно N и, учитывая, что l2 = 1,6 м, l1 = 3,23 м 2 получаем:
N2=δ3∙l1EA1+13l2EA2=2∙10-33∙3,232∙1011۰10-3+131,6∙2∙1011۰2۰10-3=109,2кН
Тогда в соответствии с (1.3а) N1 =189,1кН;
Тогда:
σ1=N1A1=189,1∙10310-3=0,189
МПа
σ2=N2A2=109,2∙1031,2۰10-3=0,091
МПа