Размер обработанных на некотором станке деталей может быть рассмотрен как случайная величина Х, распределенная

Размер обработанных на некотором станке деталей может быть рассмотрен как случайная величина Х, распределенная по нормальному закону. Для контроля качества деталей было произведено 50 измерений. i xi i xi i xi i xi i xi 1 2,41 11 7,42 21 16,69 31 18,28 41 20,45 2 3,74 12 7,42 22 16,74 32 18,63 42 20,71 3 4,77 13 15,55 23 16,79 33 18,96 43 20,83 4 5,24 14 15,64 24 16,84 34 19,37 44 20,89 5 5,66 15 15,64 25 16,95 35 19,51 45 21,91 6 5,91 16 15,66 26 16,97 36 19,8 46 22,46 7 5,99 17 15,86 27 17,44 37 19,86 47 22,54 8 6,24 18 15,91 28 17,52 38 20,02 48 22,55 9 6,47 19 15,98 29 17,58 39 20,21 49 24,92 10 7,33 20 16,48 30 18,09 40 20,34 50 25,92 Провести группировку данных, разбив варианты на 8 интервалов. Для сгруппированного ряда построить гистограмму частот. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ=0,95. 3.1 Проектный размер детали должен быть равен а=19. При уровне значимости  проверить утверждение производителя о совпадении размера произведенных деталей с проектным размером. 3.2. При уровне значимости  проверить, является ли статистически обоснованным утверждение производителя о равенстве среднеквадратического отклонения размера детали заданному значению σ0=3. Была исследована зависимость случайной величины Y (срок службы произведенных деталей) от величины Х (размер детали). В результате проведения 10 измерений были получены следующие результаты. i xi yi 1 11,41 69,07 2 14,72 94,81 3 15,46 97,66 4 16,21 99,93 5 16,62 99,5 6 16,63 99,94 7 17,13 99,75 8 17,39 99,84 По этим данным построить диаграмму рассеяния. Построить линейное уравнение регрессии. Построить параболическое уравнение регрессии. Для линейной модели проверить адекватность по F-критерию. По модели с наименьшей остаточной дисперсией вычислить прогнозируемое значение y* при заданном значении x* =21. Вычислить выборочный линейный коэффициент корреляции. При уровне значимости  проверить значимость коэффициента корреляции.

Проведем группировку исходных данных, т.е. разобьем варианты на отдельные интервалы. Найдем разность между наибольшим и наименьшим значениями признака xmax-xmin = 25,92 – 2,41 = 23,51.
Тогда при разбивке на 8 интервалов длина интервала составит
h = 23,51/8 =2,93875≈ 3. Получим таблицу 1.
Таблица 1
Интервал
xiнач-xiкон
Середина
интервала Частота
ni
Относительная
частота wi
1 2.4 - 5.4 3.9 4 0.08
2 5.4 - 8.4 6.9 8 0.16
3 8.4 - 11.4 9.9 0 0
4 11.4 - 14.4 12.9 0 0
5 14.4 - 17.4 15.9 14 0.28
6 17.4 - 20.4 18.9 14 0.28
7 20.4 - 23.4 21.9 8 0.16
8 23.4 - 26.4 24.9 2 0.04
∑
50 1
1.2 Построим для сгруппированного ряда гистограмму частот.
2.1 Таблица для расчета:
Интервал
xiнач-xiкон
Середина
интервала Частота
ni
xi·ni
(x-xср)2·ni
2.4 - 5.4 3.9 4 15.6 553.19
5.4 - 8.4 6.9 8 55.2 613.901
8.4 - 11.4 9.9
0 0
11.4 - 14.4 12.9
0 0
14.4 - 17.4 15.9 14 222.6 0.806
17.4 - 20.4 18.9 14 264.6 146.966
20.4 - 23.4 21.9 8 175.2 311.501
23.4 - 26.4 24.9 2 49.8 170.755
Итого 50 783 1797.12
Найдем выборочную среднюю xв
xв=(x1+x2+...+xk)/n = 78350 = 15.66
Найдем выборочную дисперсию Dв
Dв=(i=1k(xi-xв)2)/n=1797.1250= 35,9424
Найдем исправленную выборочную дисперсию Dв*
Dв*=nDв(n-1)= 50⋅35,9424,03/49 ≈ 36,676
Найдем исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение s случайной величины Х
s=Dв*=36,676≈6,056
2.2 Построим доверительный интервал для генеральной средней с уровнем доверительной вероятности γ = 0,95. Так как значение генеральной дисперсии неизвестно, пользуемся формулой
δ=T1-γ; n-1∙sn
Найдем значение T1-γ; n-1 = T0,05; 49 по таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне вероятности α = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 1 = 49. Получаем T0,05;49 = 2,01. Далее находим точность оценки
δ=T1-γ; n-1∙sn=2,01∙6,05650≈ 1,72
Доверительный интервал для генеральной средней имеет вид
x ∊ (xв − δ; xв + δ)
Подставляя значения, получаем, что с вероятностью γ = 0,95 выполнено
x ∊ (13,84; 17,28)
Построим доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ = 0,95.
Найдем значение χ12 по таблице критических точек распределения χ2 при уровне вероятности (1 + γ) / 2 = 0,975 и числе степеней свободы k = n–1 = 49.
Получаем χ12 = 31,55, следовательно, χ1 ≈ 5,62.
Найдем значение χ22 по таблице критических точек распределения χ2 при уровне вероятности (1 - γ) / 2 = 0,025 и числе степеней свободы k = n–1 = 49.
Получаем χ22 = 70,22, следовательно, χ2 ≈ 8,38.
Доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения имеет вид
σ∈(sn-1χ2; sn-1χ1)
Подставляя значения, получаем, что с вероятностью γ = 0,95 выполнено
σ∈(6,056498,38; 6,056495,62) или σ∈(5,06;7,54)
3.1 При уровне значимости α = 0,05 проверим утверждение, что среднее значение величины Х соответствует проектному значению a = 19

. Так как выборка имеет большой объем (n = 50 > 30), то для проверки нулевой гипотезы H0: x = а в качестве критерия проверки можно принять случайную величину U, определенную по формуле
U=(x-a)nσ
При этом в качестве генерального среднеквадратического отклонения σ можно принять выборочное значение s.
Вычислим наблюдаемое значение критерия
Uнабл=(xв-a)ns=(15,66-19)506,056≈-3,9
Конкурирующей является гипотеза H1: x ≠ а, поэтому критическую точку Uкр находим по таблице функции Лапласа из условия
Φ(Uкр) = (1 – α) / 2 = 0,475. Получаем Uкр=1,96.
Так как |Uнабл| > Uкр, то нулевую гипотезу отвергаем.
Следовательно, утверждение, что среднее значение выходного параметра Х соответствует проектному значению, является статистически необоснованным.
3.2 При уровне значимости  проверить, является ли статистически обоснованным утверждение производителя о равенстве среднеквадратического отклонения размера детали заданному значению σ0=3.
На основании полученных данных требуется проверить нулевую гипотезу о том, что дисперсия генеральной совокупности равна числу S02= 9: H0: D = 9.
Для проверки нулевой гипотезы используется случайная величина:
EQ χ2 = \f((n-1)S;S02)
Альтернативная гипотеза:
H1: D ≠ 9, критическая область – двусторонняя.
Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина χ2 имеет распределение χv2 с числом степеней свободы v=n-1. Критическое значение χv2 определяется по таблице для заданного уровня значимости α=0.05 из условия P(χ2 > χv2) = 0.05.
χ(50-1;0.05)2 = 67.50481
Вычислим экспериментальное значение статистики:
Экспериментальное значение критерия χ2 < χkp2 (попало в критическую область), поэтому нулевую гипотезу следует отклонить в пользу альтернативной, т.е. утверждение равенстве среднеквадратического отклонения размера детали заданному значению σ0=3 является статистически необоснованным.
4.1 Построим диаграмму рассеяния по данным таблицы 3.
Таблица 3
i
xi
yi
1 11,41 69,07
2 14,72 94,81
3 15,46 97,66
4 16,21 99,93
5 16,62 99,5
6 16,63 99,94
7 17,13 99,75
8 17,39 99,84
9 19,45 93,98
10 20,83 85,01
4.2 Построим линейное уравнение регрессии, т.е. модель вида y=ao+a1x
Согласно методу наименьших квадратов, параметры регрессии ao, a1 находим из системы уравнений
na0+a1x=ya0x+a1x2=xy
В таблицу 4 внесем данные, необходимые для расчета коэффициентов линейного уравнения регрессии.
Таблица 4
i
x
y
x2
xy
1 11,41 69,07 130,1881 788,0887
2 14,72 94,81 216,6784 1395,603
3 15,46 97,66 239,0116 1509,824
4 16,21 99,93 262,7641 1619,865
5 16,62 99,5 276,2244 1653,69
6 16,63 99,94 276,5569 1662,002
7 17,13 99,75 293,4369 1708,718
8 17,39 99,84 302,4121 1736,218
9 19,45 93,98 378,3025 1827,911
10 20,83 85,01 433,8889 1770,758
Сумма 165,85 939,49 2809,464 15672,68
Таким образом, получаем систему линейных уравнений
10a0+165,85a1=939,49165,85a0+2809,464a1=15672,68
Решая эту систему линейных уравнений, получаем
a0≈68,24
a1≈1,55
Таким образом, линейное уравнение регрессии имеет вид
y=68,24+1,55x
4.3 Построим параболическое уравнение регрессии, т.е